目录
线性回归：理解与应用
什么是线性回归？
一元线性回归
正态分布的重要性
多元线性回归
实例讲解
数据准备
数据分析
构建模型
训练模型
验证模型
应用模型
代码实现
线性回归：理解与应用
线性回归是一种广泛使用的统计方法，用于建模和预测因变量与一个或多个自变量之间的线性关系。它是机器学习中最基础也是最重要的算法之一，适用于多种实际场景，如预测销售额、评估房地产价值、预测股票价格等。本文将介绍线性回归的基本概念，并通过具体的例子来展示其应用。
什么是线性回归？
线性回归是一种监督学习技术，用于预测连续数值型的目标变量。它假设自变量与因变量之间存在线性关系，并试图找到最佳拟合直线来描述这种关系。线性回归的核心在于最小化预测值与实际值之间的差距，即误差平方和（SSE）。
线性回归可以分为两种主要类型：一元线性回归和多元线性回归。
一元线性回归
当只有一个自变量时，我们称之为一元线性回归。一元线性回归的数学模型可以表示为： y=β0+β1x+ε 其中，
- y 是因变量（也称为响应变量）。
- x 是自变量（也称为解释变量）。
- β0 是截距项，当 x=0 时的 y 的值。
- β1 是斜率，表示自变量 x 每增加一个单位时因变量 y 的变化量。
- ε 是随机误差项，表示模型未能捕捉到的影响 y 的因素。
实例：
以下为实验数据：
下列为实例代码：
import pandas as pd # 导入Pandas库，用于数据处理
from matplotlib import pyplot as plt # 导入Matplotlib库的pyplot模块，用于绘图
from sklearn.linear_model import LinearRegression # 导入Scikit-learn库的LinearRegression类，用于线性回归分析
data = pd.read_csv('data.csv') # 读取CSV文件中的数据到Pandas DataFrame
plt.scatter(data.广告投入, data.销售额) # 绘制散点图，其中x轴为'广告投入'，y轴为'销售额'
plt.show() # 显示图表
corr = data.corr() # 计算数据的相关系数矩阵
lr = LinearRegression() # 创建一个线性回归模型对象
x = data[['广告投入']] # 选择DataFrame中的'广告投入'这一列作为特征变量
y = data[['销售额']] # 选择DataFrame中的'销售额'这一列作为目标变量
lr.fit(x, y) # 使用fit方法训练模型
result = lr.predict(x) # 使用训练好的模型对输入特征进行预测
score = lr.score(x, y) # 计算模型对训练数据的解释方差比（R²）
a = round(lr.intercept_[0], 2) # 截距项（保留两位小数）
b = round(lr.coef_[0][0], 2) # 斜率项（保留两位小数）
print(f"线性回归模型为:y = {b}x + {a}") # 输出线性回归模型方程运行出来的散点图为：
结果为：
正态分布的重要性
在一元线性回归中，随机误差项 ε 通常假定为独立同分布的正态分布。这是因为正态分布是许多实际问题的基础假设之一，它保证了回归参数估计的有效性和可靠性。正态分布的期望为 0，方差相同，为σ^2。
多元线性回归
当有多个自变量时，我们称之为多元线性回归。多元线性回归的数学模型可以表示为： y=β0+β1x1+β2x2+…+βpxp+ε 其中，
- y是因变量。
- x1,x2,…,xp 是自变量。
- β0 是截距项。
- β1,β2,…,βp 是斜率，表示每个自变量对因变量的影响。
- ε 是随机误差项。
实例解
为了更好地理解线性回归的应用，我们以一个具体的实例来说明。假设我们有一组数据，包含不良贷款、各项贷款余额、本年累计应收贷款、贷款项目个数以及本年固定资产投资额等信息。我们的目标是使用这些数据来预测不良贷款的金额。
数据准备
我们从 Excel 文件 "案例.xlsx" 中读取数据。
数据分析
我们首先分析这些变量之间的相关性，以确定哪些变量可能与不良贷款有关联。
构建模型
我们选择使用 "各项贷款余额" 和 "本年固定资产投资额" 作为自变量，"不良贷款" 作为因变量，构建多元线性回归模型。
训练模型
使用数据集的一部分来训练模型，其余部分用于验证模型的准确性。
验证模型
评估模型的性能，例如使用 R² 分数来衡量模型的拟合程度。
应用模型
使用训练好的模型进行预测。
代码实现
下面是一个 Python 代码示例，演示如何使用 pandas 和 scikit-learn 库来完成上述任务：
import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LinearRegression
# 加载数据
data = pd.read_excel('案例.xlsx')
# 创建线性回归模型
lr_model = LinearRegression()
# 准备数据
X = data[['各项贷款余额', '本年累计应收贷款', '贷款项目个数', '不良贷款']]
y = data[['本年固定资产投资额']]
# 训练模型
lr_model.fit(X, y)
# 计算模型的决定系数 (R²)
score = lr_model.score(X, y)
print(score)
# 进行预测
predictions = lr_model.predict([[100, 50, 100, 10]])
print("预测结果 (100亿元, 50亿元, 100个, 10亿元):", predictions)
# 进行多个预测
predictions_multiple = lr_model.predict([[120, 60, 110, 12], [110, 40, 90, 8]])
print("多个预测结果:", predictions_multiple)
# 输出模型的截距和系数 y=kx+b
b = lr_model.intercept_
k = lr_model.coef_
print("系数形状:", k.shape)
print("线性回归模型为：y = {:.2f} + {:.2f} * 各项贷款余额 + {:.2f} * 本年累计应收贷款 + {:.2f} * 贷款项目个数 + {:.2f} * 不良贷款."
.format(b[0], k[0][0], k[0][1], k[0][2], k[0][3]))运行结果：
结论
通过上述实例，我们可以看到线性回归模型在实际问题中的应用。希望这篇文章能帮助你更好地理解线性回归的概念，并学会如何使用它解决实际问题。
