🎯要点

🎯使用受控物理变换序列实现可训练分层物理计算 | 🎯多模机械振荡、非线性电子振荡器和光学二次谐波生成神经算法验证 | 🎯训练输入数据，物理系统变换产生输出和可微分数字模型估计损失的梯度 | 🎯多模振荡对输入数据进行可控卷积 | 🎯物理神经算法数学表示、可微分数学模型 | 🎯MNIST和元音数据集评估算法

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🍇PyTorch可微分优化

假设张量$x$是元参数，$a$是普通参数（例如网络参数）。我们有内部损失 $L^{\text{in }}=a_0\cdot x^2$ 并且我们使用梯度 $\frac{\partial L^{\text{in }}}{\partial a_0}=x^2$ 更新 $a$和 $a_1=a_0-\eta \frac{\partial L^{\text{in }}}{\partial a_0}=a_0-\eta x^2$。然后我们计算外部损失 $L^{\text{out }}=a_1\cdot x^2$。因此外部损失到 $x$ 的梯度为：
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial L^{\text{out }}}{\partial x}& =\frac{\partial \left(a_1\cdot x^2\right)}{\partial x}\\ & =\frac{\partial a_1}{\partial x}\cdot x^2+a_1\cdot \frac{\partial \left(x^2\right)}{\partial x}\\ & =\frac{\partial \left(a_0-\eta x^2\right)}{\partial x}\cdot x^2+\left(a_0-\eta x^2\right)\cdot 2x\\ & =(-\eta \cdot 2x)\cdot x^2+\left(a_0-\eta x^2\right)\cdot 2x\\ & =-4\eta x^3+2a_{0}x\end{array}$$
鉴于上述分析解，让我们使用 TorchOpt 中的 MetaOptimizer 对其进行验证。MetaOptimizer 是我们可微分优化器的主类。它与功能优化器 torchopt.sgd 和 torchopt.adam 相结合，定义了我们的高级 API torchopt.MetaSGD 和 torchopt.MetaAdam。

首先，定义网络。

from IPython.display import display

import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F

import torchopt


class Net(nn.Module):
    def __init__(self):
        super().__init__()
        self.a = nn.Parameter(torch.tensor(1.0), requires_grad=True)

    def forward(self, x):
        return self.a * (x**2)

然后我们声明网络（由 a 参数化）和元参数 x。不要忘记为 x 设置标志 require_grad=True 。

net = Net()
x = nn.Parameter(torch.tensor(2.0), requires_grad=True)

接下来我们声明元优化器。这里我们展示了定义元优化器的两种等效方法。

optim = torchopt.MetaOptimizer(net, torchopt.sgd(lr=1.0))
optim = torchopt.MetaSGD(net, lr=1.0)

元优化器将网络作为输入并使用方法步骤来更新网络（由a参数化）。最后，我们展示双层流程的工作原理。

inner_loss = net(x)
optim.step(inner_loss)

outer_loss = net(x)
outer_loss.backward()
# x.grad = - 4 * lr * x^3 + 2 * a_0 * x
#        = - 4 * 1 * 2^3 + 2 * 1 * 2
#        = -32 + 4
#        = -28
print(f'x.grad = {x.grad!r}')

输出：

x.grad = tensor(-28.)

让我们从与模型无关的元学习算法的核心思想开始。该算法是一种与模型无关的元学习算法，它与任何使用梯度下降训练的模型兼容，并且适用于各种不同的学习问题，包括分类、回归和强化学习。元学习的目标是在各种学习任务上训练模型，以便它仅使用少量训练样本即可解决新的学习任务。

更新规则定义为：

给定微调步骤的学习率 $\alpha$，$\theta$ 应该最小化
$$L(\theta )=E_{T_i\sim p(T)}\left[L_{T_i}\left({\theta }_i^{\prime }\right)\right]=E_{T_i\sim p(T)}\left[L_{T_i}\left(\theta -\alpha {\nabla }_{\theta }{L}_{T_i}(\theta )\right)\right]$$
我们首先定义一些与任务、轨迹、状态、动作和迭代相关的参数。

import argparse
from typing import NamedTuple

import gym
import numpy as np
import torch
import torch.optim as optim

import torchopt
from helpers.policy import CategoricalMLPPolicy


TASK_NUM = 40
TRAJ_NUM = 20
TRAJ_LEN = 10

STATE_DIM = 10
ACTION_DIM = 5

GAMMA = 0.99
LAMBDA = 0.95

outer_iters = 500
inner_iters = 1

接下来，我们定义一个名为 Traj 的类来表示轨迹，其中包括观察到的状态、采取的操作、采取操作后观察到的状态、获得的奖励以及用于贴现未来奖励的伽玛值。

class Traj(NamedTuple):
    obs: np.ndarray
    acs: np.ndarray
    next_obs: np.ndarray
    rews: np.ndarray
    gammas: np.ndarray

评估函数用于评估策略在不同任务上的性能。它使用内部优化器来微调每个任务的策略，然后计算微调前后的奖励。

def evaluate(env, seed, task_num, policy):
    pre_reward_ls = []
    post_reward_ls = []
    inner_opt = torchopt.MetaSGD(policy, lr=0.1)
    env = gym.make(
        'TabularMDP-v0',
        num_states=STATE_DIM,
        num_actions=ACTION_DIM,
        max_episode_steps=TRAJ_LEN,
        seed=args.seed,
    )
    tasks = env.sample_tasks(num_tasks=task_num)
    policy_state_dict = torchopt.extract_state_dict(policy)
    optim_state_dict = torchopt.extract_state_dict(inner_opt)
    for idx in range(task_num):
        for _ in range(inner_iters):
            pre_trajs = sample_traj(env, tasks[idx], policy)
            inner_loss = a2c_loss(pre_trajs, policy, value_coef=0.5)
            inner_opt.step(inner_loss)
        post_trajs = sample_traj(env, tasks[idx], policy)

        pre_reward_ls.append(np.sum(pre_trajs.rews, axis=0).mean())
        post_reward_ls.append(np.sum(post_trajs.rews, axis=0).mean())

        torchopt.recover_state_dict(policy, policy_state_dict)
        torchopt.recover_state_dict(inner_opt, optim_state_dict)
    return pre_reward_ls, post_reward_ls

在主函数中，我们初始化环境、策略和优化器。策略是一个简单的 MLP，它输出动作的分类分布。内部优化器用于在微调阶段更新策略参数，外部优化器用于在元训练阶段更新策略参数。性能通过微调前后的奖励来评估。每次外部迭代都会记录并打印训练过程。

def main(args):

    torch.manual_seed(args.seed)
    torch.cuda.manual_seed_all(args.seed)

    env = gym.make(
        'TabularMDP-v0',
        num_states=STATE_DIM,
        num_actions=ACTION_DIM,
        max_episode_steps=TRAJ_LEN,
        seed=args.seed,
    )

    policy = CategoricalMLPPolicy(input_size=STATE_DIM, output_size=ACTION_DIM)
    inner_opt = torchopt.MetaSGD(policy, lr=0.1)
    outer_opt = optim.Adam(policy.parameters(), lr=1e-3)
    train_pre_reward = []
    train_post_reward = []
    test_pre_reward = []
    test_post_reward = []

    for i in range(outer_iters):
        tasks = env.sample_tasks(num_tasks=TASK_NUM)
        train_pre_reward_ls = []
        train_post_reward_ls = []

        outer_opt.zero_grad()

        policy_state_dict = torchopt.extract_state_dict(policy)
        optim_state_dict = torchopt.extract_state_dict(inner_opt)
        for idx in range(TASK_NUM):
            for _ in range(inner_iters):
                pre_trajs = sample_traj(env, tasks[idx], policy)
                inner_loss = a2c_loss(pre_trajs, policy, value_coef=0.5)
                inner_opt.step(inner_loss)
            post_trajs = sample_traj(env, tasks[idx], policy)
            outer_loss = a2c_loss(post_trajs, policy, value_coef=0.5)
            outer_loss.backward()
            torchopt.recover_state_dict(policy, policy_state_dict)
            torchopt.recover_state_dict(inner_opt, optim_state_dict)
            # Logging
            train_pre_reward_ls.append(np.sum(pre_trajs.rews, axis=0).mean())
            train_post_reward_ls.append(np.sum(post_trajs.rews, axis=0).mean())
        outer_opt.step()

        test_pre_reward_ls, test_post_reward_ls = evaluate(env, args.seed, TASK_NUM, policy)

        train_pre_reward.append(sum(train_pre_reward_ls) / TASK_NUM)
        train_post_reward.append(sum(train_post_reward_ls) / TASK_NUM)
        test_pre_reward.append(sum(test_pre_reward_ls) / TASK_NUM)
        test_post_reward.append(sum(test_post_reward_ls) / TASK_NUM)

        print('Train_iters', i)
        print('train_pre_reward', sum(train_pre_reward_ls) / TASK_NUM)
        print('train_post_reward', sum(train_post_reward_ls) / TASK_NUM)
        print('test_pre_reward', sum(test_pre_reward_ls) / TASK_NUM)
        print('test_post_reward', sum(test_post_reward_ls) / TASK_NUM)

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