62. 不同路径
题目描述：一个机器人位于一个
m x n网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7 输出：28示例 2：
输入：m = 3, n = 2 输出：3 解释： 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。 1. 向右 -> 向下 -> 向下 2. 向下 -> 向下 -> 向右 3. 向下 -> 向右 -> 向下示例 3：
输入：m = 7, n = 3 输出：28示例 4：
输入：m = 3, n = 3 输出：6提示：
1 <= m, n <= 100- 题目数据保证答案小于等于
2 * 109
代码思路：
-
状态定义: 使用一个二维数组
dp来存储每个位置(i, j)到达该位置的唯一路径数。 -
边界条件: 对于第一行和第一列,到达这些位置的路径数都是 1,因为只有一种路径可以到达。先将
dp[0][j]和dp[i][0]全部设为 1。 -
状态转移: 对于其他位置
(i, j),它的路径数等于从上方(i-1, j)到达和从左方(i, j-1)到达的路径数之和,即dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。 -
返回结果: 最终返回
dp[m-1][n-1],这就是从左上角到右下角的唯一路径数。
这个动态规划将一个复杂的问题拆解为一系列更小的子问题,并利用子问题的解来构建出原问题的解。算法的时间复杂度是 O(mn),需要填充整个 dp 数组,空间复杂度也是 O(mn),使用了一个二维数组来存储中间状态。
class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n) {
int[][] dp = new int[m][n];
Arrays.fill(dp[0], 1);
for (int i = 1; i < m; i++) {
dp[i][0] = 1;
}
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
}
63. 不同路径 II
题目描述：
一个机器人位于一个
m x n网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用
1和0来表示。示例 1：
输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]] 输出：2 解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。 从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径： 1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下 2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右示例 2：
输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]] 输出：1提示：
m == obstacleGrid.lengthn == obstacleGrid[i].length1 <= m, n <= 100obstacleGrid[i][j]为0或1
代码思路：
-
状态定义: 与之前的"唯一路径数"问题类似,使用一个二维数组
dp来存储每个位置(i, j)到达该位置的唯一路径数。 -
边界条件:
- 如果当前位置是障碍物(
obstacleGrid[i][j] == 1),那么到达该位置的路径数为 0。 - 如果是左上角(i, j) = (0, 0),且该位置不是障碍物,那么到达该位置的路径数为 1。
- 如果是第一行或第一列,且该位置不是障碍物,那么到达该位置的路径数等于其左侧或上方位置的路径数。
- 如果当前位置是障碍物(
-
状态转移: 对于其他位置
(i, j),它的路径数等于从上方(i-1, j)到达和从左方(i, j-1)到达的路径数之和,即dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。 -
返回结果: 返回
dp[m-1][n-1],这就是从左上角到右下角的唯一路径数。
这个动态规划算法的时间复杂度仍然是 O(mn),需要填充整个 dp 数组。空间复杂度也是 O(mn),使用了一个二维数组来存储中间状态。这个问题与之前的"不同路径"问题的主要区别在于需要处理障碍物的情况。通过在状态转移方程中增加对障碍物的判断,来确保在有障碍物的情况下,到达某个位置的路径数为 0。
class Solution {
public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
int m = obstacleGrid.length;
int n = obstacleGrid[0].length;
int[][] dp = new int[m][n];
for (int i = 0; i < m; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (obstacleGrid[i][j] == 1) {
dp[i][j] = 0;
} else if (i == 0 && j == 0) {
dp[0][0] = 1 - obstacleGrid[0][0];
} else if (i == 0) {
dp[i][j] = dp[0][j - 1];
} else if (j == 0) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
} else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
}
