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两道前缀和模板题.

【模板】前缀和:

定义一维前缀和数组:

presum[i]: 表示 1 - i 位置的和

状态转移方程: presum[i] = presum[i - 1] + arr[i - 1]

定义数组时多开一个位置, 下标位置从 1 开始计算, 不从 0 开始是为了避免越界的情况, 从 0 开始在状态转移时会遇到下标为 -1 的问题.

如果要计算的区间和为 (3, 6), 那么公式为: presum[6] - presum[2], 所以通项公式为:

presum[end] - presum[begin - 1] 区间: [begin, end]

题解代码:

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() 
{
    int n, q;
    cin >> n >> q;
    vector<long> arr(n);
    vector<long> presum(n + 1); //前缀和数组
    //输入并填充前缀和数组
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        cin >> arr[i - 1];
        presum[i] = presum[i - 1] + arr[i - 1];
    }
    long begin, end;
    for(int i = 0; i < q; ++i)
    {
        cin >> begin >> end;
        cout << presum[end] - presum[begin - 1] << endl;
    }
    return 0;
}

【模板】二维前缀和

同样是要先预处理前缀和数组, 只不过是二维的, 要多开一行和一列, 避免下标为 -1 的情况.

定义状态:

presum[i][j]: 表示坐标 (1, 1) 到 (i, j) 的和, 如下图:

多开一行和一列默认初始化全为 0 即可.

首先是填前缀和数组的状态转移方程, 如图:

在填写 (i, j) 位置时, 可以划分成如图的矩形, 容易看出 (i, j) 位置的前缀和就等于紫色矩形 + 绿色矩形 + (i, j) 位置本身的值, 但是因为紫色矩形和绿色矩形有重叠的部分, 所以减去一个重合区域 presum[i - 1][j - 1], 那么状态转移方程为:

presum[i][j] = presum[i - 1][j] + presum[i][j - 1] - presum[i - 1][j - 1] + nums[i][j]

接下来是如何根据题目给定的坐标获取指定区域的前缀和, 如图:

假设要求的矩阵区域为 (x1, y1) - (x2, y2), 那么只需要先用 presum[x2][y2] 的前缀和减去绿色矩形 + 紫色矩形的前缀和, 但是因为紫色矩形和绿色矩形有重叠的部分, 所以重叠部分被减了两次, 多减了一次, 加回来 presum[x1 - 1][y1 - 1] 即为所求区域的值, 那么为:

presum[x2][y2] - presum[x1 - 1][y2] - presum[x2][y1 - 1] + presum[x1 - 1][y1 - 1]

题解代码:

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() 
{
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    vector<vector<int>> nums(n + 1, vector<int>(m + 1));
    vector<vector<long>> presum(n + 1, vector<long>(m + 1)); //前缀和数组
    //填表
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for(int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            cin >> nums[i][j];
            presum[i][j] = presum[i - 1][j] + presum[i][j - 1] - presum[i - 1][j - 1] + nums[i][j];
        }
    }
    int x1, y1, x2, y2;
    for(int i = 0; i < q; ++i)
    {
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        cout << presum[x2][y2] - presum[x1 - 1][y2] - presum[x2][y1 - 1] + presum[x1 - 1][y1 - 1] << endl;
    }
    return 0;
}