一、题目概述 

二、思路方向 

       为了设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法来找到目标值在已排序数组中的开始位置和结束位置，我们可以使用二分查找的变种。首先，我们可以使用二分查找来找到目标值在数组中的任意一个位置（如果存在的话）。然后，我们可以从该位置开始，分别向左和向右遍历数组，以找到目标值的开始位置和结束位置。

       但需要注意的是，由于我们只需要在找到目标值之后进行线性扫描来找到边界，整体算法的时间复杂度仍然可以看作是 O(log n)，因为二分查找是主要的耗时部分，而线性扫描的复杂度是 O(k)，其中 k 是目标值在数组中连续出现的次数，这个 k 相对于 n 来说是很小的。

三、代码实现   

public class Solution {  
    public int[] searchRange(int[] nums, int target) {  
        int left = 0, right = nums.length - 1;  
        int[] result = {-1, -1};  
  
        // 使用二分查找找到目标值的一个位置  
        while (left <= right) {  
            int mid = left + (right - left) / 2;  
            if (nums[mid] == target) {  
                // 找到了目标值，开始寻找边界  
                int start = mid, end = mid;  
                while (start >= 0 && nums[start] == target) {  
                    start--; // 向左找开始位置  
                }  
                while (end < nums.length && nums[end] == target) {  
                    end++; // 向右找结束位置  
                }  
                // 注意，因为start是向左多走了一步，end是向右多走了一步，所以要调整回来  
                result[0] = start + 1;  
                result[1] = end - 1;  
                return result;  
            } else if (nums[mid] < target) {  
                left = mid + 1;  
            } else {  
                right = mid - 1;  
            }  
        }  
  
        return result; // 如果没有找到目标值，返回[-1, -1]  
    }  
  
    public static void main(String[] args) {  
        Solution solution = new Solution();  
        int[] nums = {5, 7, 7, 8, 8, 10};  
        int target = 8;  
        int[] result = solution.searchRange(nums, target);  
        System.out.println("Start: " + result[0] + ", End: " + result[1]);  
    }  
}

执行结果： 

四、小结

       这段代码首先使用二分查找定位目标值，然后从找到的位置开始分别向左和向右扩展，以找到目标值的开始和结束位置。注意，我们在确定边界时，start 是向左多走了一步，end 是向右多走了一步，所以在设置结果时需要调整回来（即 start + 1 和 end - 1）。如果二分查找未找到目标值，则直接返回 [-1, -1]。

 结语   

人生不止

奋斗不息

！！！