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前言

所有软件的运行都得益于硬件上的突破，数字信号是从40年前就开始高速发展的领域。得益于硬件上从一开始的中规模集成电路，到大规模集成电路，再到现如今的超大规模集成电路，促进了功率更小，体积更小，速度更快，价格更便宜的数字计算机。

硬件上的突破使得计算机可以执行复杂的数字信号功能和任务，当然并不是说数字信号就是解决所有信号的解决方案，对于一些需要及时处理的例如：带宽等信号，这种就需要模拟信号或者光信号。

而声音是一种波，恰恰可以将这种波转换成数字信号在软件中进行处理。

本篇文章借鉴了《数字信号处理》、《离散时间信号处理》、《信号与系统》，如果有写错的地方，是笔者个人能力不足，没有理解透彻，恳请告知笔者。

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一、频率

为了更好的了解数模转换的原理，我们最好先了解一下信号频率的概念。

其实在音频基础学习一——声音的本质、术语与特性这篇文章中，有介绍过：
$$频率——一秒钟内振动质点完成的全振动的次数叫振动的频率，其单位为赫(Hz)$$

连续时间信号的频率

我们知道所有的信号都是由不同的波组成的，而通过傅里叶原理——所有的波形都可以拆解成不同的正弦波组成。声音当然也如此。

在音频基础学习二——声音的波形中，有举过最简单的正弦波数学公式
$$x_a(t)=A\cos (\Omega t+\theta )$$

其中$$A是正弦波的幅度，也就是振幅，\Omega 是弧度的频率，也就是2\pi f,\theta 为相位$$

例如一个正弦波图：

数字信号的频率

先复习一下：

上一篇文章音频进阶学习一——模拟信号和数字信号中，介绍了连续时间信号、离散时间信号、模拟信号、连续值信号、离散值信号以及数字信号。

而数字信号不仅要在自变量上（往往是时间），还要在一定范围内取值，也就是同时满足连续值信号和离散时间信号的特征。

在此也以一个正弦波举例，一个离散时间的正弦信号数学公式上为

$$x_a(n)=A\cos (\Omega n+\theta )$$
此时n是一个整形变量，称为样本数，所以它的图形看起来是这样的：

二、模数转换过程

上篇文章说过，在实际应用中，我们感兴趣的信号大多是模拟信号，例如：声音、地震、生物、雷达、视频等。要通过数字方法处理模拟信号，需要先把模拟信号转换成数字形式，这一过程称为模数转换（A/D）
。

A/D转换三步

从概念上，A/D转换分为三步：

• 采样：这是连续时间信号到离散时间信号的转换过程,通过对连续时间信号在离散时间点处取样本值获得。因此,如果x(t)是采样器的输人,那么输出是x(nT)≡x(n),其中7称为采样间隔。
• 量化：这是离散时间连续值信号转换到离散时间离散值(数字)信号的转换过程。每个信号样本值是从可能值的有限集中选取的。未量化样本(n)和量化输出x(n)之间的差称为量化误差。
• 编码：在编码过程中,每一个离散值x(n)由b位的二进制序列表示。

看到这里大家应该也就明白pcm数据中采样率，字节数是从何而来的了。

A/D转换图解如下：

三、采样

而模拟信号通过A/D转换成数字信号后，再由D/A转换成模拟信号，从而被听到、看到。如何保证它的精度呢？这个就需要对于一对连续的样本进行插值，从而保持零阶保持或者阶梯近似。

例如：

那么在A/D过程中如何确定采样的次数，在D/A过程中什么时候插入值呢？

确定采样频率

之前我们了解到，任何模拟信号都可以看作不同振幅、频率和相位的正弦信号的和，最终从数学上得到公式为：

对于语音信号中最重要的频率范围（即语音的主要频带）通常集中在 300 Hz 到 3400 Hz 之间。根据采样定理，要无失真地捕捉频率为$$f_{max}$$的信号，采样频率 应该至少为$$2\times f_{max}$$。因此，语音信号常用的采样频率有 8 kHz（电话通信）、16 kHz、22.05 kHz、44.1 kHz（CD质量）等。

这就是采样率的由来。

数模转换中的插值

根据采样定理：如果包含在某个模拟信号$$x_a(t)$$中的最高频率是$$Fmax=B$$,而信号以采样率$$F_s>2Fmax=2B$$采样,那么 x(t)可以从样本值准确恢复,插值函数为：
$$g(t)=\frac{\sin 2\pi Bt}{2\pi Bt}$$

例如：

四、量化

量化过程

上文说过，在D/A过程中，数字信号将转换回模拟信号，并且要达到零阶保持或者阶梯近似的状态，那么就需要A/D过程中取值时要达到一定的精度。

通过把每个样本值表示为一个有限(而不是无限)的数字,将一个离散时间连续幅度信号转换成数字信号的过程,称为量化。

值得注意的是：取值量化过程并不是直接通过数学公式直接取模拟信号的值，而是保持阶梯取值，如同下图：

其中：

• 黑点是量化取值
• 白点是实际值
• 黑点和白点一一对应
• 两个黑点之间的距离称之为量化步长或者分辨率

量化误差

从这里就可以看出取值量化过程中存在量化误差，也叫做量化噪声，存在误差是因为需要对于量化的值进行四舍五入的保留有效数字。

比如，现在量化的精度是0.1，而下图有量化的点在0.6和0.7之间

四舍五入的标准：

五、编码

在一个 A/D转换器中的编码过程为每一个量化级别赋予一个唯一的二进制数。如果有L级那么我们至少需要L个不同的二进制数。如果字长为bit位,那么我们可以生成$$2^b$$个不同的二进制数。

因此有$$2^b\ge L$$,或者等价有b≥bL。商业上可用的 AD转换器可以是bit=16位或更小的有限精度。一般来说,采样率越高及量化越精细,设备就越昂贵。

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总结

由于知识储量和工作原因，很长一段时间没有写过关于音频的博客了，后面希望能够有充分的时间和大家一样多多提升自己，并能够分享自己整理觉得有意义的东西。

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