1. 背景

为了学习Transformer，我开始投入一部分精力来学习神经网络。这篇文章会持续更新。

文章参考：https://towardsdatascience.com/math-neural-network-from-scratch-in-python-d6da9f29ce65
文章参考：https://blog.csdn.net/ourkix/article/details/134042761
文章参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/589538557
文章参考：https://www.bilibili.com/video/BV16r4y1Y7jv/?p=2&spm_id_from=pageDriver&vd_source=dcc37f900cca3b9bbf065e588e781e14

2. 理论知识

2.1. 单个神经元

2.1.1. 基础

如下图单个神经元

• 输入为$x_1$，$x_2$
• 经过权重参数和偏置参数得：$x_1\ast w_1+x_2\ast w_2+b$
• 最后总和经过激活函数得：$y=f(x_1\ast w_1+x_2\ast w_2+b)$
• 常用的激活函数为$y=\frac{1}{1+e^{-x}}$，该激活函数可以将(负无穷，正无穷)映射到(0,1)的范围。

2.1.2. 神经元激活代码

如下代码定义一个基本的神经元，只实现forward函数

• 神经元接受初始化参数：weight 和 bias
• forward函数：进行input和weight进行向量点乘，并sigmoid激活

import numpy as np

def sigmoid(x):
    return 1/(1+np.exp(-x))

class Neuron:
    def __init__(self, weight, bias):
        self.weight = weight
        self.bias = bias

    def forward(self, input):
        output = np.dot(input, self.weight) + self.bias
        return sigmoid(output)

weight = [1, 2]
bias = 10
neuron = Neuron(weight, bias)
print(neuron.forward([1, 2])) # sigmoid(1*1 + 2*2 + 10)
print(neuron.forward([-2, -4])) # sigmoid(-2 -8 + 10)

2.2. 多个神经元

2.2.1. 基础

考虑如下图的一个最简单的网络，有两个神经元的隐含层和一个神经元的输出层构成，它有如下公式
$$\begin{gathered} h_1=f(x_1\ast w_1+x_2\ast w_2+b1) \\ {h}_2=f(x_1\ast w_3+x_2\ast w_4+b2) \\ {o}_1=f(h_1\ast w_5+h_2\ast w_6+b3) \end{gathered}$$

也就是说，对于输入$x_1,x_2$经过相应权重和偏差计算可以得到输出，这个输出和真实值会有差距，如何来衡量这个差距呢？一般我们会使用“均方误差损失MSE”来衡量
$$L=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(o_i^{\prime }-o_i{)}^2$$
这里假定 $o_i$为真实值，$o_i^{\prime }$为预测值。

2.2.2. 神经元激活代码

通过神经元组合，可以构建一个weight和bias为固定值的小网络

import numpy as np

def sigmoid(x):
    return 1/(1+np.exp(-x))

class Neuron:
    def __init__(self, weight, bias):
        self.weight = weight
        self.bias = bias

    def forward(self, input):
        output = np.dot(input, self.weight) + self.bias
        return sigmoid(output)

# x1, x2 -> h1, h2 -> o1
class NeuralNetwork:
    def __init__(self):
        weight = [1, 2]
        bias = 1
        self.h1 = Neuron(weight, bias)
        self.h2 = Neuron(weight, bias)
        self.o1 = Neuron(weight, bias)

    def forward(self, input):
        a = self.h1.forward(input)
        b = self.h2.forward(input)
        return self.o1.forward([a, b])

net = NeuralNetwork()
print(net.forward(np.array([-2, -4]))) # 0.731131354942724
print(sigmoid(-9)) # 0.00012339457598623172
print(sigmoid(0.000123394 * 1 + 0.000123394 * 2 + 1)) # 0.7311313546030448

# a = sigmoid(-9) 0.000123394
# b = sigmoid(-9) 0.000123394
# o = sigmoid(0.000123394 * 1 + 0.000123394 * 2 + 1) # 0.7311313546030448

2.2.3. 反向传播

简单总结下上述的几个公式
$$\begin{gathered} h_1=f(x_1\ast w_1+x_2\ast w_2+b1) \\ {h}_2=f(x_1\ast w_3+x_2\ast w_4+b2) \\ {o}_1=f(h_1\ast w_5+h_2\ast w_6+b3) \\ L=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(o_i^{\prime }-o_i{)}^2 \end{gathered}$$
为了找到最合适的权重和偏置，以最小化$L$，我们可以采用梯度下降的方案来解决，通过$L$分别对$w_1$或者$w_2$求偏导，然后使得$w_1$或者$w_2$都向着$L$变小的方向移动一个小的step。

To be continued

3. 神经网络编程基础

本章节主要来讲解整个逻辑回归从0到1。

3.1. 基本概念

$x$: 表示一个$n_x$维数据，为输入数据，维度为$(n_x,1)$；
$y$：表示输出结果，取值为(0,1)；
$(x^{(i)},y^{(i)})$：表示第$i$组数据，可能是训练数据，也可能是测试数据，此处默认为训练数据；
$X=[x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}]$：表示所有的训练数据集的输入值，放在一个 $n_x\ast m$的矩阵中，其中$m$表示样本数目;
$Y=[y^{(1)},y^{(2)},...,y^{(m)}]$：对应表示所有训练数据集的输出值，维度为$1\ast m$

上述的每个样本都是一个列向量，如$x^{(i)}$的形式，多个样本按照列顺序排布，最终形成矩阵$X$, 其中$X$.shape = $(n_x,m)$

3.2. 逻辑回归

$y$的预测值$\hat{y}$，是$y$的一个估计。准确来说，我们使用$\hat{y}$来表达$y$等于$1$的概率，它是一个0到1的值。举例来说，如果$x$是一个图片，那么$\hat{y}$可以用来表示这张图片是一只猫的概率有多大。我们用$w$来表示逻辑回归的参数，$b$表示偏移量，构造函数$\hat{y}=w^T\ast x+b$来进行预测y值。这是线性回归中使用的函数，但是对于二元分类来说，它有个问题。要用$\hat{y}$表示$y$等于$1$的概率值，它在0和1之间，因此我们需要再输出之前再加上一个sigmoid函数，来控制输出范围。

经过修改，逻辑回归的输出函数为
$$\hat{y}=\sigma (w^{T}x+b)，其中\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$

对于给定的数据$\{(x^{(1)},y^{(1)}),(x^{(2)},y^{(2)}),...,(x^{(m)},y^{(m)})\}$，期望得到$\hat{y}\approx y$。为了让模型学习到$w,b$参数，需要定义一个损失函数（代价函数）。我们用$L(\hat{y},y)$来表示预测输出值$\hat{y}$和真实值$y$到底有多接近。

一般情况下我们会使用平方误差（预测值和真实值的平差差）来作为损失函数，但在逻辑回归中一般不这样做，这是因为我们的目标不是凸优化，它可能有多个局部最优值，梯度下降可能找不到全局最优值。在逻辑回归任务重，我们一般会使用另外一个损失函数：
$$L(\hat{y},y)=-ylog(\hat{y})-(1-y)log(1-\hat{y})$$
当$y=1$的时候，损失函数简化为$log(\hat{y})$，如果要最小化损失函数$L$，则需要将$\hat{y}$尽可能的大，它的取值范围为0-1，所以$\hat{y}$会无限接近于1
当$y=0$的时候，损失函数简化为$-log(1-\hat{y})$，如果要$L$尽可能的小，需要$\hat{y}$尽可能的小，所以$\hat{y}$会无限接近于0（注意log函数是增函数，两个负号之后，$-log(1-\hat{y})$还是增函数）

损失函数是基于单个样本来定义的，为了衡量其在全部样本的表现，使用所有样本的损失值均值来衡量，即
$$\begin{gathered} J(w,b)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}L({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)}) \\ =\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(-y^{(i)}log({\hat{y}}^{(i)})-(1-y^{(i)})log(1-{\hat{y}}^{(i)})) \end{gathered}$$

在训练模型的时候，通过调整$w,b$的值，以使得$J(w,b)$最小。

3.3. 梯度下降法(Gradient Descent)

3.3.1. 基础知识

我们以一个单参数的w和b来举例，它的二维图示如下图所示：

这是一个凸函数，它像一个大碗。我们需要寻找合适$(w,b)$，以最小化$J(w,b)$。算法随机初始化一个点，然后随着梯度下降的方向，直到全局最优。因为它是凸函数，不管从哪里初始化，都可以到达全局最优点。

如果上述函数是非凸函数，则有多个最小值，梯度下降就很容易落入局部最优值。

3.3.2. 梯度下降的形式化说明

梯度下降的更新逻辑是
$$w:=w-\alpha \frac{dJ(w)}{dw}$$
这里的$\alpha$是学习率，$\frac{dJ(w)}{dw}$为代价函数在$w$处的梯度值

我们以单$w$参数的函数来举例，如下图它是一个一元曲线图。下图的右半边是增函数，它的导数大于0；左半边是减函数，它的导数小于0。每次梯度更新是使用$w$减去一个梯度值，从左边来看，因为导数小于0，则每次减法相当于增加$w$，从右边来看，因为导数大于0，则每次减法相当于减少$w$。也就是说，不管$w$的初始值是在最小值左侧，还是右侧，$w$都始终向着全局最小的位置行进。

当有多个参数的时候，这里的导数就变成的求偏导，梯度更新是每个参数都沿着梯度下降的方向，即
$$w:=w-\alpha \frac{dJ(w,b)}{dw},b:=b-\alpha \frac{dJ(w,b)}{db}$$

3.3.3. 复合函数梯度计算图

对于如下的流程，如果我们学过复合函数的导数公式，我们有

$$\frac{dJ}{db}=\frac{dJ}{dv}\frac{dv}{du}\frac{du}{db}=3\ast 1\ast c=3\ast 1\ast 2=6$$

这如何从微分意义上来大致解答呢？我们采用类似于微分增量的概念，让$b$增加一个微小量$0.001$，即从$3$增加到$3.001$， 我们观察$J$的增量，即可用来近似表达$\frac{dJ}{db}$的值。

3.3.4. 逻辑回归的梯度下降

回顾前述的公式
$$\begin{gathered} \hat{y}=a=\sigma (w^{T}x+b)，其中\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}} \\ L(\hat{y},y)=-ylog(\hat{y})-(1-y)log(1-\hat{y}) \\ J(w,b)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}L({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)}) \end{gathered}$$
我们用$a$代替$\hat{y}$来计算单个样本的代价函数，则$L$对$a$的导数$\frac{dL}{da}$为
$$\begin{array}{rl}\frac{dL}{da}& =-(y\ast \frac{1}{a}+(1-y)\ast \frac{1}{1-a}\ast (-1))\\ & =-(\frac{y}{a}+\frac{y-1}{1-a})=-\frac{y-ay+ay-a}{a(1-a)}\\ & =\frac{a-y}{a(1-a)}\end{array}$$
$a$对$z$的导数$\frac{da}{dz}$为
$$\begin{array}{rl}\frac{da}{dz}& =-\frac{1}{(1+e^{-z}{)}^2}\ast e^{-z}\ast (-1)\\ & =e^{-z}\ast \frac{1}{(1+e^{-z}{)}^2}\\ & =\frac{1-a}{a}\ast a^2=a(1-a)\end{array}$$

则连续求导法$\frac{dL}{dz}$为
$$\begin{array}{rl}\frac{dL}{dz}& =\frac{dL}{da}\ast \frac{da}{dz}\\ & =\frac{a-y}{a(1-a)}\ast a(1-a)\\ & =a-y\end{array}$$

假设$w$是个二元函数，满足$z=w_1{x}_1+w_2{x}_2+b$。我们继续推导，求$L$对$w$和$b$的导数，即计算$\frac{dL}{dw}$和$\frac{dL}{db}$的值：
$$\begin{array}{rl}\frac{dL}{d{w}_1}& =\frac{dL}{dz}\frac{dz}{d{w}_1}=(a-y)\ast x_1\\ \frac{dL}{d{w}_2}& =\frac{dL}{dz}\frac{dz}{d{w}_2}=(a-y)\ast x_2\\ \frac{dL}{db}& =\frac{dL}{dz}\frac{dz}{db}=(a-y)\end{array}$$

3.3.5. $m$个样本的梯度下降

上述是单个样本的梯度下降，我们现在计算$m$个样本的梯度下降，再次回顾$m$个样本的损失函数
$$J(w,b)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}L(a^{(i)},y^{(i)})$$
则求对$w_1$的偏导为
$$\begin{gathered} \frac{dJ(w,b)}{d{w}_1}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\frac{dL(a^{(i)},y^{(i)})}{d{w}_1} \\ \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(a^{(i)}-y^{(i)})\ast x_1^{(i)} \end{gathered}$$
后续为了简化起见，在某些地方会用$d{w}_1$来表示$\frac{dJ(w,b)}{d{w}_1}$

梯度下降算法
偷懒一把，直接从视频中截图出梯度下降算法的实现。其实通过前述的推导，我们已经明确知道了$\frac{dJ(w,b)}{d{w}_1}$是如何计算的，也就不难得到如下的算法迭代公式。

它的思想很简单

• 初始化损失和梯度都为0（为后续的sum求和作准备）
• 根据前述$J(w,b)$的计算公式，计算出$J(w,b)$
• 然后应用前述的梯度计算方法，计算出$\frac{dJ(w,b)}{d{w}_1}$的值，这里的损失求和和梯度求和是在遍历样本的过程中进行累加的
• 最后遍历完所有样本求均值
• 在得到前述的梯度和之后，应用梯度下降的更新公式，代入学习率，即可得到新的$w$和$b$
  

3.3.6. 梯度下降向量化

上述梯度计算的是通过两层for循环迭代，另外一种思路是采用矩阵向量运算，这样可以更好利用并行化优化。

向量化和非向量化的代码耗时

import numpy as np
import time
a = np.random.rand(1000000)
b = np.random.rand(1000000)

tic = time.time()
c = np.dot(a, b)
toc = time.time()
print(c)
print("Vectorized version:"+ str(1000*(toc-tic))+"ms")

c = 0
tic = time.time()
for i in range(1000000):
    c += a[i]*b[i]
toc = time.time()
print(c)
print("For loop:"+ str(1000*(toc-tic))+ "ms")

输出结果

250121.78770186222
Vectorized version:23.240327835083008ms
250121.7877018585
For loop:487.37192153930664ms

可以看到两者有20多倍的耗时差，这得益于向量化的能力，CPU一般可以很容易使用SIMD指令来加速矩阵运算。想写循环时候，检查 numpy 是否存在类似的内置函数，从而避免使用循环(loop)方式。

我们首先使用向量化来优化前向传播的一些计算
已知
$$z^{(1)}=(w^T{x}^{(1)}+b),z^{(2)}=(w^T{x}^{(2)}+b),z^{(3)}=(w^T{x}^{(3)}+b)$$
从而，我们有
$$\begin{array}{rl}Z& =[z^{(1)},z^{(2)},...,z^{(m)}]\\ & =[(w^T{x}^{(1)}+b),(w^T{x}^{(2)}+b),...,(w^T{x}^{(m)}+b)]\\ & =[w^T{x}^{(1)},w^T{x}^{(2)},...,w^T{x}^{(m)}]+[b,b,....,b]\\ & =w^T[x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}]+[b,b,....,b]\end{array}$$
显而易见，我们可以定义一个输入矩阵$X=[x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}]$，它是一个$n\ast m$的矩阵，其中$n$为单个样本的维度，$m$为样本个数，它的每列是一个样本，则
$$Z=w^{T}X+[b,b,....,b]$$
在代码实现中，我们可以写$Z=np.dot(w^T,X)+b$，用向量加上实数$b$，python会自动将$b$进行展开成向量，那么关于激活值$a$呢？

我们已知
$$a^{(1)}=\sigma (z^{(1)}),a^{(2)}=\sigma (z^{(2)}),a^{(3)}=\sigma (z^{(3)})$$
则激活值向量为
$$\begin{array}{rl}A& =[a^{(1)},a^{(2)},...,a^{(m)}]\\ & =[\sigma (z^{(1)}),\sigma (z^{(2)}),...,\sigma (z^{(m)})]\\ & =\sigma (Z)\end{array}$$

再次回忆代价函数$J(w,b)$，将它使用激活值来表示，则
$$J(w,b)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m-y^{(i)}log{a}^{(i)}-(1-y^{(i)})log(1-a^{(i)})$$
若令$Y=[y^{(1)},y^{(2)},...,y^{(m)}]$，则
$$\begin{array}{rl}J(w,b)& =\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m-y^{(i)}log{a}^{(i)}-(1-y^{(i)})log(1-a^{(i)})\\ & =-Y^{T}log(A)-(1-Y{)}^{T}log(1-A)\end{array}$$

其次，我们使用向量化来优化两层for循环的梯度下降算法
回顾一下梯度计算算法的流程：

我们用$dZ=[d{z}^{(1)},d{z}^{(2)},...,d{z}^{(m)}]$，则我们有
$$\begin{array}{rl}dZ& =[d{z}^{(1)},d{z}^{(2)},...,d{z}^{(m)}]\\ & =[a^{(1)}-y^{(1)},a^{(2)}-y^{(2)},...,a^{(m)}-y^{(m)}]\\ & =[a^{(1)},a^{(2)},...,a^{(m)}]-[y^{(1)},y^{(2)},...,y^{(m)}]\\ & =A-Y\end{array}$$
梯度更新的计算公式使用$d{z}^{(i)}$来表示的话，则为
$$\begin{gathered} d{w}_1=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\frac{dL(a^{(i)},y^{(i)})}{d{w}_1}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{x}_1^{(i)}\ast d{z}^{(i)} \\ d{w}_2=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\frac{dL(a^{(i)},y^{(i)})}{d{w}_2}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{x}_2^{(i)}\ast d{z}^{(i)} \\ db=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\frac{dL(a^{(i)},y^{(i)})}{db}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}d{z}^{(i)} \end{gathered}$$
则$db=\frac{1}{m}\ast np.sum(dZ)$。

接下来，我们来求$dw$，由于$w$是列向量，为了便于梯度更新时候的矩阵运算，我们令$dw=[d{w}_1,d{w}_2,...,d{w}_n{]}^T$，也是一个列向量，则$dw$可以表示为：
$$\begin{array}{rl}dw& =\left[\begin{array}{c}d{w}_1\\ d{w}_2\\ ⋮\\ d{w}_n\end{array}\right]\\ & =\frac{1}{m}\ast \left[\begin{array}{cccc}{x}_1^{(1)}& x_1^{(2)}& \cdots & x_1^{(m)}\\ x_2^{(1)}& x_2^{(2)}& \cdots & x_2^{(m)}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ x_n^{(1)}& x_n^{(2)}& \cdots & x_n^{(m)}\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}d{z}^{(1)}\\ d{z}^{(2)}\\ ⋮\\ d{z}^{(m)}\end{array}\right]\\ & =\frac{1}{m}\ast [x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}]\ast \left[\begin{array}{c}d{z}^{(1)}\\ d{z}^{(2)}\\ ⋮\\ d{z}^{(m)}\end{array}\right]\end{array}$$
回忆一下前述输入矩阵$X$和$Z$的表示形式，$dw$可以简化为
$$dw=\frac{1}{m}\ast X\ast d{Z}^T$$
这可以使用代码$dw=\frac{1}{m}\ast np.dot(X,d{Z}^T)$。我们也可以将其写成样本展开的形式为
$$dw=\frac{1}{m}(x^{(1)}d{z}^{(1)}+x^{(2)}d{z}^{(m)}+...+x^{(m)}d{z}^{(m)})$$

经过上述的矩阵简化之后，我们的前向和反向传播的公式可以简化为
$$\begin{array}{rl}Z& =w^{T}X+[b,b,....,b]=np.dot(w^T,X)+b\\ A& =[a^{(1)},a^{(2)},...,a^{(m)}]=\sigma (Z)\\ J(w,b)& =-Y^{T}log(A)-(1-Y{)}^{T}log(1-A)\\ dZ& =[d{z}^{(1)},d{z}^{(2)},...,d{z}^{(m)}]=A-Y\\ dw& =\frac{1}{m}\ast X\ast d{Z}^T=\frac{1}{m}\ast np.dot(X,d{Z}^T)\\ db& =\frac{1}{m}\ast np.sum(dZ)\\ w:& =w-\alpha \ast dw\\ b:& =b-\alpha \ast db\end{array}$$
利用前几个公式实现前向和反向传播，利用最后两个公式完成梯度更新，上述的公式没有任何for循环，全是向量运算，足够高效。

对应python代码

def sigmoid(z):
	return 1/(1 + np.exp(-z))

def compute gradient(X,y,w, b):
	m=X.shape[1]
	z=np.dot(w.T，X)+b
	a= sigmoid(z)
	dw=(1/m)*np.dot(X, (a-y).T)
	db =(1/m)*np.sum(a-y)
	return dw, db

3.4. 逻辑回归的数学解释

3.4.1. 单样本损失函数的来由

对于给定的一个样本$(x,y)$，对于$x$，逻辑回归中的预测结果$\hat{y}$表示如下
$$\hat{y}=\sigma (w^{T}x+b)，其中\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$
这里$\hat{y}$表示$y=1$的概率，它的输出值在$[0,1]$之间。由于这是一个二分类问题，真实值$y$只能取值$0$或者$1$，所以我们有：
$$\begin{array}{rl}p(y=1|x)& =\hat{y}\\ p(y=0|x)& =1-\hat{y}\end{array}$$

上述公式是两个式子，为了简便计算，我们将其合并为一个式子来表达，即
$$p(y|x)={\hat{y}}^y\ast (1-\hat{y}{)}^{(1-y)}$$
我们可以代入$y=1$，满足$p(y=1|x)=\hat{y}$；代入$y=0$，满足$p(y=0|x)=1-\hat{y}$。

对于给定的一个样本$(x,y)$，我们的目标是最大化$p(y|x)$，它等价于最大化$log(p(y|x))$，这是因为$log$函数是严格递增的函数，故而我们目标是最大化
$$log((p(y|x))=log({\hat{y}}^y\ast (1-\hat{y}{)}^{(1-y)})=ylog\hat{y}+(1-y)log(1-\hat{y})$$

回想前述的损失函数的定义：
$$L(\hat{y},y)=-ylog(\hat{y})-(1-y)log(1-\hat{y})$$
所以我们有
$$log((p(y|x))=-L(\hat{y},y)$$
考虑到损失函数前面有个负号，因此最大化输出概率值$p(y|x)$等价于最小化损失函数$L(\hat{y},y)$，这是单个样本的损失函数表达式。

3.4.2. 推广到多样本损失函数

对于有$m$个样本，我们的目标是寻找参数$(w,b)$，以最大化联合概率函数
$$P(y^{(1)},y^{(2)},...,y^{(m)}|x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)})$$
假设所有的样本满足独立同分布的特性，则联合概率密度函数等于所有样本概率密度函数的乘积，即
$$\begin{array}{rl}P(y^{(1)},y^{(2)},...,y^{(m)}|x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)})& =p(y^{(1)}|x^{(1)})\ast p(y^{(2)}|x^{(2)})\ast ...\ast p(y^{(m)}|x^{(m)})\\ & =\prod _{i=1}^{m}p(y^{(i)}|x^{(i)})\end{array}$$
同样利用$log$的特性，两边求对数，以将乘积变成加法，则等同于最大化：
$$log(\prod _{i=1}^{m}p(y^{(i)}|x^{(i)}))=\sum _{i=1}^{m}log(p(y^{(i)}|x^{(i)}))=-\sum _{i=1}^{m}L(\hat{y},y)$$
由于上面的式子最右边有个负号，因此最大化联合概率密度函数等同于最小化
$$\sum _{i=1}^{m}L(\hat{y},y)$$
前面乘以系数$\frac{1}{m}$，这就等同于我们的前述所述的多样本损失函数的定义
$$J(w,b)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}L(a^{(i)},y^{(i)})$$

3.4.3. 反向思考一轮

我们期望找到参数$(w,b)$，它能使得$m$个样本出现的概率最大，即最大化这些样本的联合概率密度函数
$$P(y^{(1)},y^{(2)},...,y^{(m)}|x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)};w,b)$$

这种是我们概率论中的常考题型，参考最大似然估计一章，它详细解释了如何依赖样本值来计算出$w$和$b$。

联合概率的公式不容易计算，我们一般认为样本之间满足独立同分布的特性，这就可以将联合概率密度写成单样本概率密度函数的乘积。
$$p(y^{(1)}|x^{(1)})\ast p(y^{(2)}|x^{(2)})\ast ...\ast p(y^{(m)}|x^{(m)})=\prod _{i=1}^{m}p(y^{(i)}|x^{(i)})$$

概率密度的乘积同样很难计算，我们进一步通过$log$对数的形式，将其转换为加法运算，即最大化
$$\sum _{i=1}^{m}log(p(y^{(i)}|x^{(i)}))$$

在概率论书籍中，到达这一步之后，我们会根据题目中给出的样本概率分布，将概率密度函数代入到$p(y^{(i)}|x^{(i)})$中，进行化简。对于本文的二元预测来说，我们定义了$\hat{y}$为$p(y=1|x)$，进而可以得到二元样本$(x,y)$的概率分布函数（对于离散型随机变量$y$，我们通常称之为概率分布函数）为$p(y|x)={\hat{y}}^y\ast (1-\hat{y}{)}^{(1-y)}$，代入到上面的式子，即最大化
$$\sum _{i=1}^m(y^{(i)}log{\hat{y}}^{(i)}+(1-y^{(i)})log(1-{\hat{y}}^{(i)}))$$

又因为我们的$\hat{y}=\sigma (w^{T}x+b)$，则可以进一步代入上式，即最大化
$$\sum _{i=1}^m(y^{(i)}log\sigma (w^T{x}^{(i)}+b)+(1-y^{(i)})log(1-\sigma (w^T{x}^{(i)}+b)))$$

再重复一遍，我们的目标是求出参数$(w,b)$，以使得上述公式的值最大。对于概率论的书籍中，这个时候，我们会将上述公式对$w$和$b$分别求偏导，使得所有的偏导值为0，解这个多元方程组，就可以使用样本值来表达$w$和$b$。令$P$代表上述的公式，我们有
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial P}{\partial w_1}& =0\\ \frac{\partial P}{\partial w_2}& =0\\ \frac{\partial P}{\partial b}& =0\end{array}$$

想一想我们梯度下降在做的事情，我们初始化$(w,b)$之后通过不断梯度下降的迭代，使得代价函数$J(w,b)$最小。当其最小的时候，其实就是上述的各个偏导数为0。

4. Python编程基础

4.1. numpy广播

• 矩阵按列求和

import numpy as np
A = np.array([[56.0,0.0,4.4,68.0],
              [1.2,104.0,52.0,8.0],
              [1.8,135.0,99.0,0.9]])
print(A)

## 按列求和
sumA = A.sum(axis=0)
print(sumA)  # 输出 [ 59.  239.  155.4  76.9]

• 矩阵除法广播

## 求各个列中不同元素的占比
print(A/sumA)

输出
[[0.94915254 0.         0.02831403 0.88426528]
 [0.02033898 0.43514644 0.33462033 0.10403121]
 [0.03050847 0.56485356 0.63706564 0.01170351]]

一个$m\ast n$的矩阵除以$1\ast m$的矩阵，相当于$m\ast n$的矩阵的每一行都和该行向量对应元素相除。与之所类比，我们同样可以进行加、减、乘运算。

• 矩阵加上一个实数

## 4.2. 每个元素都加上100
print(A+100)

输出
[[156.  100.  104.4 168. ]
 [101.2 204.  152.  108. ]
 [101.8 235.  199.  100.9]]

• 维度延展
  广播机制首先需要判断参与计算的两个数组能否被广播机制处理？即判断是否广播兼容，规则是，比较两个数组的shape，从shape的尾部开始一一比对
  • (1) 如果两个数组的维度相同，从后向前逐个维进行比对，若轴长度相同或者其中一方的长度为1，则广播兼容：例如$m\ast n$和$1\ast n$，它们都是2维的，从后向前比对，先是$n$，两个轴长度相同；其次是$m$和$1$，其中一方为$1$，故而满足广播兼容。
  • (2) 如果两个数组的维度不同，那么给低维度的数组前扩展提升一维，且扩展维的轴长度为1，然后继续形同(1)进行处理：例如$k\ast m\ast n$和$1\ast n$，它们的维度不同，需要先给$1\ast n$扩展一个维度变成$1\ast 1\ast n$，然后按照方法(1)进行处理。
    

4.2. 使用明确的矩阵维度表示

使用明确的维度表示，不要使用一维数组，转向使用$n\ast 1$维矩阵（基本上是列向量），或者 $1\ast n$ 维矩阵（基本上是行向量）。