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线段树 主席树

中文题面

如题，你需要维护这样的一个长度为 N 的数组，支持如下几种操作

在某个历史版本上修改某一个位置上的值

访问某个历史版本上的某一位置的值

此外，每进行一次操作（对于操作2，即为生成一个完全一样的版本，不作任何改动），就会生成一个新的版本。版本编号即为当前操作的编号（从1开始编号，版本0表示初始状态数组）

输入格式

输入的第一行包含两个正整数 $N$, $M$， 分别表示数组的长度和操作的个数。

第二行包含 $N$ 个整数，依次为初始状态下数组各位的值（依次为 $a_i$，$1\le i\le N$）。

接下来 $M$ 行每行包含3或4个整数，代表两种操作之一（$i$ 为基于的历史版本号）：

对于操作1，格式为 $v_{i}1lo{c}_{i}valu{e}_i$​，即为在版本 $v_i$ ​的基础上，将 $a[lo{c}_i]$​​ 修改为 $valu{e}_i$​。

对于操作2，格式为 $v_{i}2lo{c}_i$​，即访问版本 $v_i$ ​中的 $a[lo{c}_i]$ ​​的值，注意：生成一样版本的对象应为 $v_i$​。

输出格式

输出包含若干行，依次为每个操作2的结果。
$1\le N,M\le 106,1\le lo{c}_i\le N,0\le v_i<i,-10^9\le a_i,valu{e}_i\le 10^9$

思路

如果对于每次修改都复制一遍数组，空间复杂度为 $O(NM)$，显然不合适。考虑到每次修改只变了数组的一小部分，我们考虑对这一小部分进行复制。把数组按照线段树的方式划分，得到以下结构：
我们发现修改箭头所指的值时，只有黄线标记的节点受到了影响，这些点的数量为 $logn$，只需每次对这些节点进行复制，其他未修改的点保留指向即可。
注：主席树一般开40倍空间

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int cnt = 0, a[1000005], root[1000005], n, m;
int ver, op, loc, value;
struct node {
    int l, r, val;
} tree[40000005];
int clone(int cp) {
    tree[++cnt] = tree[cp];
    return cnt;
}
int build(int now, int l, int r) {
    if (l == r) {
        tree[now].val = a[l];
        return now;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    tree[now].l = build(++cnt, l, mid);
    tree[now].r = build(++cnt, mid + 1, r);
    return now;
}
int update(int now, int l, int r, int x, int v) {
    int newnew = clone(now);
    if (l == r) {
        tree[newnew].val = v;
        return newnew;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    if (x > mid) tree[newnew].r = update(tree[newnew].r, mid + 1, r, x, v);
    else tree[newnew].l = update(tree[newnew].l, l, mid, x, v);
    return newnew;
}
int query(int now, int l, int r, int x) {
    if (l == r) return tree[now].val;
    int mid = l + r >> 1;
    if (x > mid) return query(tree[now].r, mid + 1, r, x);
    return query(tree[now].l, l, mid, x);
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    root[0] = build(++cnt, 1, n);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> ver >> op >> loc;
        if (op == 1) {
            cin >> value;
            root[i] = update(root[ver], 1, n, loc, value);
        } else {
            cout << query(root[ver], 1, n, loc) << '\n';
            root[i] = root[ver];
        }
    }
    return 0;
}