---

一、实验目的

  1.熟悉LTI系统零输入响应与零状态响应的概念及其叠加性。
  2.理解和掌握LTI连续系统阶跃响应与冲激响应的概念，了解其测试原理和测试方法。
  3.理解和掌握动态系统模型参数的变化对系统时域响应的影响。
  4.熟悉Multisim软件的使用方法。
  5.熟悉MATLAB软件的使用方法。

二、实验内容与原理（简单列了一下提纲）

第一部分：连续系统时域响应MATLAB仿真分析

(一）实验内容
  1. 采用MATLAB实现连续时间信号的卷积积分运算（求系统的零状态响应）。
  2. 采用 step()、impulse()两函数编程，实现连续LTI系统的单位阶跃响应和单位冲激响应。
  3. 采用MATLAB求连续LTI系统的零输入响应。
(二）实验原理
  1. 连续时间信号卷积积分的数值计算
  2. impulse()函数和step()函数的调用格式
  3. 求解连续LTI系统零输入响应的理论知识

第二部分：连续系统时域响应Multisim电路仿真分析

(一）实验内容
  1.大惯量二阶LTI连续系统零输入响应、零状态响应的测试与分析。
  2.分别测试二阶LTI连续系统在欠阻尼、临界阻尼、过阻尼、不稳定等条件下的阶跃响应与冲激响应，比较不同状态下阶跃响应与冲激响应的区别，分析LTI系统模型参数与特征根的对应关系及其对系统时域响应的影响。
(二）实验原理及电路说明
  1.连续系统时域响应分析电路
  2.系统的工作状态： ξ=0（无阻尼）; ξ＞1（过阻尼）; ξ=1（临界阻尼）; 0＜ξ＜1（欠阻尼）;ξ ＜0（不稳定）

三、实验器材

  一台PC机（自备）
  Multisim软件（2011及以上版本，自备）
  MATLAB 2014a及以上版本（自备）

四、实验步骤

第一部分：连续系统时域响应MATLAB仿真分析

（一）验证性实验

  1. 连续时间信号的卷积积分（零状态响应）
  2. 连续系统的单位阶跃响应和单位冲激响应

（二）程序设计实验

  参照上述例题，根据下列实验内容要求，设计出完整程序，并给出程序流程图。
  1. 已知连续LTI系统，激励 ，单位冲激响应 ，试绘出系统零状态响应 的波形。
  2. 已知LTI系统，激励 ，单位冲激响应 ，试给出系统零状态响应 的数学表达式。
  3. 试分别绘出下列微分方程描述的LTI系统单位冲激响应和阶跃响应的波形，并求出相应的数值解。
   $（1）2y^{\prime \prime }(t)+y^{\prime }(t)+8y(t)=f(t)$
   $（2）3y^{\prime \prime \prime }(t)+2y^{\prime }(t)-4y(t)=2f^{\prime }(t)+f(t)$
   $（3）y^{\prime \prime }(t)+2y^{\prime }(t)+5y(t)=4f^{\prime }(t)$
  4. 已知连续LTI系统，微分方程为 $3y^{\prime \prime \prime }(t)+5y^{\prime \prime }(t)+7y^{\prime }(t)+y(t)=2f^{\prime }(t)+f(t)$ ，试分别绘出在下列给定初始条件下，系统零输入响应的波形。
   $（1）y(0_{-})=2，y^{\prime }(0_{-})=1，y″(0_{-})=0$
   $（2）y(0_{-})=1，y^{\prime }(0_{-})=0，y″(0_{-})=1$
  5. 已知连续LTI系统，微分方程为 $y″(t)+5y^{\prime }(t)+6y(t)=4f^{\prime }(t)+7f(t)$ ，试分别绘出在下列给定初始
   $（1）y(0_{-})=1，y^{\prime }(0_{-})=-1$
   $（2）y(0_{-})=2，y^{\prime }(0_{-})=1$

第二部分：连续系统时域响应Multisim电路仿真分析

   1. 在Multisim软件平台上，参照图7搭建仿真电路并连接相关仪器设备，设置好仪器的参数。
   2. 二阶系统欠阻尼条件下的阶跃响应和冲激响应测试分析：
   （1）根据（10）式，取R=   （R取值在某个范围之内，请任意选择取值范围内的某个阻值，下同），系统将工作于欠阻尼模态；
   （2）设置适当的激励信号，运行仿真电路，分别测试系统的阶跃响应、冲激响应，并记录保存实验结果波形（含激励和响应波形）。
   3. 二阶系统临界阻尼条件下的阶跃响应和冲激响应测试分析：
   （1）根据（10）式，取R=  , 系统将工作于临界阻尼模态；
   （2）参照欠阻尼条件下的测试步骤，完成系统单位阶跃响应与单位冲激响应的测试和记录。
   4. 二阶系统过阻尼条件下的阶跃响应和冲激响应测试分析：
   （1）根据（10）式，取R= ，系统将工作于过阻尼模态；
   （2）参照欠阻尼条件下的测试步骤，完成系统单位阶跃响应与单位冲激响应的测试和记录。
   5. 二阶不稳定系统时域响应的测试分析
   （1）根据（10）式，取R= ，系统将不稳定；
   （2）激励信号任意设置（或者设为0），运行仿真电路，观察并记录系统响应的变化情况。
   6. 零输入响应的测试分析
   （1）选择适当的外接电阻R，使系统工作于任意一种稳定状态（过阻尼、临界阻尼或欠阻尼）；
  （2）零输入响应测试：激励信号采用占空比50%的低频方波（注意使其低电平为0，即XFG2的偏置和幅度设置为相等的值）。运行电路，用方波的高电平作为初始状态激励输入，以方波的下降沿作为t=0时刻，开始记录零输入响应。

五、实验数据及结果分析

第一部分：连续系统时域响应MATLAB仿真分析

程序设计实验的程序及其结果分析

1. 已知连续LTI系统，激励 $f(t)=sin(5\pi t)\epsilon (t)$，单位冲激响应$h(t)=2t{e}^{-4t}\epsilon (t)$ ，试绘出系统零状态响应 的波形。

>> p=0.01;
t=0:p:4
f1=sin(5*pi*t);
f2=2*t.*exp(-4*t);
lxjuanji (f1,f2,t,t,p);

分析：MATLAB中卷积函数中只能求有限范围函数的卷积。本题中画出系统零状态响应$y_{zs}(t)$的波形时，h(t)和f(t)中t的区间为(0,4)，会导致零状态响应$y_{zs}(t)$的波形只有一半(0,4)是准确的。后来我又扩大了h(t)和f(t)中t的区间范围，我观察发现$y_{zs}(t)$的波形图中在t>2之后的均是按照余弦波的形式在0的上下震荡。

2. 已知LTI系统，激励 $f(t)=3t\epsilon (t)$，单位冲激响应$h(t)=t{e}^{-2t}\epsilon (t)$ ，试给出系统零状态响应$y_{zs}(t)$的数学表达式。

>> syms x;
t=sym('T','positive');                 
f=3*t;
h=t*exp(-2*t);
fh_x=subs(f,t,x)*subs(h,t,t-x);        
yzs=int(fh_x,x,0,t) 
yzs =
(3*T)/4 + (3*exp(-2*T))/4 + (3*T*exp(-2*T))/4 - 3/4

分析：该题的零状态响应等于激励与冲激响应的卷积，然后利用卷积的定义可以得到零状态响应。

3. 试分别绘出下列微分方程描述的LTI系统单位冲激响应和阶跃响应的波形，并求出相应的数值解。
   （1） $2y″(t)+y^{\prime }(t)+8y(t)=f(t)$

>> a=[2,1,8];
b=[1];
impulse(b,a,'R')
y1=impulse(b,a,0:2)
hold on
step(b,a,'k')
y2=step(b,a,0:2)
legend('冲激响应波形','阶跃响应波形')
y1 =
         0
    0.1797
   -0.1125
y2 =
         0
    0.1529
    0.1834 

（2） $3y‴(t)+2y^{\prime }(t)-4y(t)=2f^{\prime }(t)+f(t)$

>> a=[3,0,2,-4];b=[2,1];
impulse(b,a,'R')
y1=impulse(b,a,0:2)
hold on，step(b,a,'k')
y2=step(b,a,0:2)
legend('冲激响应波形','阶跃响应波形')
y1 =
         0
    0.7919
    1.9756
y2 =
         0
    0.3768
    1.7032

（3） $y″(t)+2y^{\prime }(t)+5y(t)=4f^{\prime }(t)$

>> a=[1,2,5];
b=[4,0];
impulse(b,a,'R')
y1=impulse(b,a,0:2)
hold on
step(b,a,'k')
y2=step(b,a,0:2)
legend('冲激响应波形','阶跃响应波形')
y1 =
    4.0000
   -1.2814
   -0.1490
y2 =
         0
    0.6690
   -0.2048

4. 已知连续LTI系统，微分方程为$3y‴(t)+5y″(t)+7y^{\prime }(t)+y(t)=f^{\prime }(t)+f(t)$ ，试分别绘出在下列给定初始条件下，系统零输入响应的波形。
   （1） $y(0_{-})=2，y^{\prime }(0_{-})=1，y″(0_{-})=0$

>> a=[3,5,7,1];
y0=[0,1,2];
n=length(a)-1;
p=Roots(a);
V=Rot90(vandeR(p));
C=V\y0';
t=0.01;                      
t1=10;                
t=0:t:t1;
yx=zeRos(1,length(t));
foR k=1:n;
    yx=yx+C(k)*exp(p(k)*t);
end
plot(t,yx)
title('yx(t)')

（2） $y(0_{-})=1，y^{\prime }(0_{-})=0，y″(0_{-})=1$

>> a=[3,5,7,1];
y0=[1,0,1];
n=length(a)-1;
p=Roots(a);
V=Rot90(vandeR(p));
C=V\y0';
t=0.01;                      
t1=10;                
t=0:t:t1;
yx=zeRos(1,length(t));
foR k=1:n;
    yx=yx+C(k)*exp(p(k)*t);
end
plot(t,yx)，title('yx(t)')

5. 已知连续LTI系统，微分方程为 $y″(t)+5y^{\prime }(t)+6y(t)=4f^{\prime }(t)+7f(t)$ ，试分别绘出在下列给定初始条件下，系统零输入响应的波形。
   （1） $y(0_{-})=1，y^{\prime }(0_{-})=-1$

>> a=[1,5,6];
y0=[-1,1];
n=length(a)-1;
p=Roots(a);
V=Rot90(vandeR(p));
C=V\y0';
t=0.01;                      
t1=10;                
t=0:t:t1;
yx=zeRos(1,length(t));
foR k=1:n;
   yx=yx+C(k)*exp(p(k)*t);
end
plot(t,yx)
title('yx(t)')

（2） $y(0_{-})=2，y^{\prime }(0_{-})=1$

>> a=[1,5,6];
y0=[1,2];
n=length(a)-1;
p=Roots(a);
V=Rot90(vandeR(p));
C=V\y0';
t=0.01;                      
t1=10;                
t=0:t:t1;
yx=zeRos(1,length(t));
foR k=1:n;
    yx=yx+C(k)*exp(p(k)*t);
end
plot(t,yx)

第二部分：连续系统时域响应Multisim电路仿真分析

  1. 根据（10）式所描述的系统微分方程以及实验中各步骤选取的电阻R，采用软件进行仿真，求出各种情况下的微分方程特征根，分别画出系统在不同阻尼条件下的阶跃响应与冲激响应（利用阶跃响应函数step和冲激响应函数impulse），并与Multisim仿真结果进行比较，分析其差异的大小以及差异产生的原因。
  解：将R1，R2，C1，C2的值带入微分方程得到
$$y^{″}(t)+\frac{3-7.5/R}{0.33}y(t)+\frac{1}{0.05445}y(t)=\frac{1+7.5/R}{0.05445}f(t)$$

  对比 $y″(t)+2\xi {\omega }_n{y}^{\prime }(t)+{\omega }_n^{2}y(t)=K{\omega }_n^{2}f(t)$ 可得：
$${\omega }_n=4.285,\xi =\frac{3-7.5/R}{2.828}$$

1.无阻尼

  A、情景一：无阻尼（ξ=0），解得R=2.5k。此时取R=2.5k，微分方程为$y″(t)+$$\frac{1}{0.05445}$$y(t)=$$\frac{4}{0.05445}$$f(t)$，特征根为一对纯虚根$s_{1,2}=-\xi {\omega }_n\pm {\omega }_n({\xi }^2-1{)}^{1/2}=\pm j{\omega }_n=\pm 4.285j$ 。
  1.MATLAB仿真：

  2. Multisim仿真
  (1)阶跃响应波形(频率：0.1Hz，占空比：99%，振幅：50Vp，偏置：50V下面的阶跃响应参数同下)
  (2)冲激响应波形(频率：0.1Hz，占空比：1%，振幅：10Vp，偏置：10V下面的阶跃响应参数同下)

  分析：MATLAB仿真的阶跃和冲激响应均是全图充满，而Multisim仿真的均是上下震荡（理论上应该是等幅振荡）。差异可能原因：无阻尼下，阶跃响应函数step和冲激响应函数impulse的图形十分紧凑，可以看成是Multisim仿真中x轴标度无穷大（已经试验过了），产生的图案与MATLAB类似。

2.欠阻尼

  B、情景二：欠阻尼$（0<\xi <1）$，解得$2.5k<R<43.604k$。此时取$R=6k$，微分方程为$y″(t)+175/33y(t)+1/0.05445y(t)=2.25/0.05445f(t)$，特征根为一对不等的共轭负根$s_{1,2}=-\xi {\omega }_n\pm {\omega }_n({\xi }^2-1{)}^{1/2}=-\xi {\omega }_n\pm j{\omega }_n(1-{\xi }^2{)}^{1/2}=-2.652\pm 3.366j$。
MATLAB仿真：

  2. Multisim仿真
  (1)阶跃响应波形

  (2)冲激响应波形

  分析：MATLAB和Multisim分别对应的阶跃响应和冲激响应波形类似。

3.临界阻尼

C、临界阻尼$（\xi =1）$，解得$R=43.604k$。此时取$R=43.604k$，微分方程为$y″(t)+8.57y(t)+1/0.05445y(t)=21.524f(t)$，特征根为一对相等的负实根$s_{1,2}=-\xi {\omega }_n\pm {\omega }_n({\xi }^2-1{)}^{1/2}=-\xi {\omega }_n=-4.285$。
1.MATLAB仿真：

2. Multisim仿真
   (1)阶跃响应波形
   

(2)冲激响应波形

分析：MATLAB和Multisim分别对应的阶跃响应和冲激响应波形类似。

4.过阻尼

  D、过阻尼$（\xi >1）$，解得$R>43.604k$。此时取$R=100k$，微分方程为$y″(t)+2.295/0.33y(t)+1/0.05445y(t)=1.075/0.05445f(t)$，特征根为一对不等的负实根$s_{1,2}=-\xi {\omega }_n\pm {\omega }_n({\xi }^2-1{)}^{1/2}=-3.304或-5.558$。
  1.MATLAB仿真：

  2. Multisim仿真
  (1)阶跃响应波形

  (2)冲激响应波形

  分析：MATLAB和Multisim分别对应的阶跃响应和冲激响应波形类似。

5.二阶不稳定系统

  E、二阶不稳定系统$（\xi <0）$，解得$0<R<2.5k$。此时取$R=1k$，微分方程为$y″(t)+(-4.5)/0.33y(t)+1/0.05445y(t)=8.5/0.05445f(t)$，特征根的实部为正，$s_{1,2}=-\xi {\omega }_n\pm {\omega }_n({\xi }^2-1{)}^{1/2}=-1.514或-12.122$。

  1.MATLAB仿真：

  2. Multisim仿真
  (1)阶跃响应波形

  (2)冲激响应波形

  分析：MATLAB和Multisim分别对应的阶跃响应和冲激响应波形类似。
  2. 比较不同阻尼条件下时域响应（包括阶跃响应与冲激响应）的区别，据此分析系统参数以及微分方程特征根对系统固有响应的影响。
  答：不同阻尼条件下阶跃响应与冲激响应的时域响应的波形是不一样的。通过对上述波形的分析，可以得到：
  当 ξ=0时，二阶系统为无阻尼状态，阶跃，冲激响应均为等幅上下震荡。
  当 0<ξ<1时,二阶系统为欠阻尼状态，阶跃，冲激响应均为幅度不断衰减的上下震荡，然后趋于0或1。不同的是冲激响应趋于0，而阶跃响应趋于1。
  当 ξ=1时，二阶系统为临界阻尼状态，阶跃响应开始迅速增大，然后增速减缓，趋于1。而冲激响应开始迅速增大，然后开始下降，趋于0
  当 ξ>1时，二阶系统为过阻尼状态，阶跃，冲激响应的波形与ξ=1的波形近似，不同的是阶跃，冲激响应开始迅速增大的程度减缓。
  当 ξ<0时,系统不稳定，阶跃，冲激响应均在某一个时间迅猛增大。

六、实验结论

  1.LTI零状态响应等于激励信号与冲激响应的卷积。
  2.MATLAB专门为用户提供了求连续时间系统单位冲激响应及单位阶跃响应，并绘制其时域波形的函数impulse()和 step()。
  3. ξ不同，二阶系统对应着不同的状态。其具体情况在上面已有概述。

七、思考题

  第一部分：连续系统时域响应MATLAB仿真分析
  1.求两个定义域（0，∞）的函数卷积的波形时，利用M脚本(卷积函数的算法)求得的波形图是不对的，该如何改正？
  答：以程序设计实验的第一个为例(和老师上课讲的验证性试验的题型是一致的)，具体的分析已经在前面提到了，对信号采取截断处理尽管存在误差，但是通过选择合理的信号长度，这种误差是能够减小到可以接受的程度的。
  第二部分：连续系统时域响应Multisim电路仿真分析
  1.Multisim电路仿真上课老师没有留思考题。但是试验报告的第五部分我只进行了零状态响应，所以我在这进行零输入响应的测试分析
  答：（1）选择适当的外接电阻R=6k，使系统工作于任意一种稳定状态—欠阻尼；
  （2）零输入响应测试：激励信号采用占空比50%的低频方波（注意使其低电平为0，即XFG2的偏置和幅度设置为相等的值）。运行电路，用方波的高电平作为初始状态激励输入，以方波的下降沿作为t=0时刻，开始记录零输入响应。
Multisim仿真(频率：0.1Hz，占空比：1%，振幅：10Vp，偏置：10V)

八、其他

  通过本次实验，我了解到了LTI连续时间系统的时域分析方法，熟悉系统的零输入响应、零状态响应及冲激响应的求解步骤；并能利用MATLAB和Multisim求连续系统的冲激响应h(t)、阶跃响应、求连续系统对任意激励的零状态响应；并且通过图形可以看出ξ对冲激响应和阶跃响应的影响。