对于文章的第一部分，递归算法的时间复杂度，来自于代码随想录文章:通过一道面试题目，讲一讲递归算法的时间复杂度！
对于第二节尾递归优化来自于B站：尾递归优化：你的递归调用是如何被优化的？

关于递归算法的时间复杂度

对于题目：求 x 的 n 次方，首先请给出最简单的方法——迭代版本：

int function1(int x, int n) {
	int res = 1;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		res *= x;
	}
	return res;
}

这里的时间复杂度为 O(n)，那么请问我们有没有时间复杂度更低的方法呢？

递归！好了我们先尝试一下递归。

int function(int x, int n) {
	if (n == 0) return 1;
	return function(x, n - 1) * x; 
}

递归算法的时间复杂度本质上是要看: 递归的次数 * 每次递归中的操作次数。

每次n-1，递归了n次时间复杂度是O(n)，每次进行了一个乘法操作，乘法操作的时间复杂度一个常数项O(1)，所以这份代码的时间复杂度是 n × 1 = O(n)。

那么，还有这样一个版本的递归算法：

int function(int x, int n) {
	if (n == 0) return 1;
	if (n == 1) return x;
	if (n % 2 == 1) return function(x, n / 2) * function(x, n / 2) * x;
	return function(x, n / 2) * function(x, n / 2)
}

关于该递归函数的时间复杂度分析，就需要搬出我们的二叉树进行辅助了。

当前这棵二叉树就是求x的n次方，n为16的情况，n为16的时候，进行了多少次乘法运算呢？

这棵树上每一个节点就代表着一次递归并进行了一次相乘操作，所以进行了多少次递归的话，就是看这棵树上有多少个节点。

熟悉二叉树话应该知道如何求满二叉树节点数量，这棵满二叉树的节点数量就是$2^3+2^2+2^1+2^0=15$，可以发现：这其实是等比数列的求和公式，这个结论在二叉树相关的面试题里也经常出现。

所以，如果是求 x 的 n 次方，那么时间复杂度就是 O(n)

那么，我们应该如何写出 O(logn) 的递归算法呢？

int function(int x, int n) {
    if (n == 0) return 1;
    if (n == 1) return x;
    int t = function4(x, n / 2);// 这里相对于function3，是把这个递归操作抽取出来
    if (n % 2 == 1) {
        return t * t * x;
    }
    return t * t;
}

依然还是看他递归了多少次，可以看到这里仅仅有一个递归调用，且每次都是n/2 ，所以这里我们一共调用了log以2为底n的对数次。

每次递归了做都是一次乘法操作，这也是一个常数项的操作，那么这个递归算法的时间复杂度才是真正的O(logn)。

尾递归优化

这里的函数是写计算阶乘的函数：

// 普通递归版本
int factorial(int n) {
	if (n <= 1) return 1;
	return factorial(n - 1) * n;
}

// 迭代版本
int factorial(int n) {
	int acc = 1;
	while (n > 0) {
		acc *= n;
		n -= 1;
	}
	return acc;
}

// 尾递归版本
int factorial(int n) {
	if (n <= 1) return acc;
	return factorial(n - 1, acc * n);
}

尾递归优化既可以是语言级别的，也可以是编译器级别的，我们的 C++ 就是编译器级别的尾递归优化。

斐波那契数列

力扣题目链接

简单的递归方法

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if (n == 0) return 0;
        if (n == 1) return 1;

        return fib(n - 1) + fib(n - 2);
    }
};

从上文的分析我们可以看到，我们想要计算出该递归算法的时间复杂度，需要进行明确递归树。

下面我们来分析其节点个数：
• 计算 fib(n) 需要计算 fib(n-1) 和 fib(n-2)。
• 计算 fib(n-1) 需要计算 fib(n-2) 和 fib(n-3)。
• 计算 fib(n-2) 需要计算 fib(n-3) 和 fib(n-4)。
为了计算时间复杂度，我们需要了解递归树的节点数。递归树的节点数代表了函数调用的总次数。由于每个节点会生成两个子节点，递归树的节点数随着树的高度呈指数增长。

• 根节点 fib(n) 有两个子节点，分别是 fib(n-1) 和 fib(n-2)。
• 每个子节点再生成两个子节点，形成更多的函数调用。

递归树的高度大约为 n，因为我们从 fib(n) 一直递归到 fib(0) 或 fib(1)。所以，树的总节点数大约是 2 的 n 次方（2^n），这是因为每个节点生成两个子节点的过程类似于二叉树的完全展开。

综上所述，时间复杂度为： O(n)

动态规划的方法

由于斐波那契满足明显的递推关系，所以我们可以很直观得使用动态规划进行解题：

我们先逐一分析动态规划五部曲：

• dp数组的含义：dp[i]表示的是第 i 个数列的值
• 确定递推公式：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
• dp数组如何初始化：dp[0] = 0 dp[1] = 1
• 确定遍历顺序：就直接往后遍历就可以了
• 打印 dp 数组进行检查。

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if (n < 2) return n;
        vector<int> dp(n, 1);
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n - 1];
    }
};

随后我们可以改进代码，也就是使用一种类似于滚动数组的思路，因为我们的递推公式只和前一个或者前两个有关，所以我们可以写如下代码：

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if (n < 2) return n;
        vector<int> dp({0, 1, 1});
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            int tmp = dp[1] + dp[2];
            dp[0] = dp[1];
            dp[1] = dp[2];
            dp[2] = tmp;
        } 
        return dp[2];
    }
};