1. 确定dp数组以及下标的含义。如果大家做了很多这种子序列相关的题目，在定义dp数组的时候 很自然就会想题目求什么，我们就如何定义dp数组。绝大多数题目确实是这样，不过本题如果我们定义，dp[i] 为 下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话，我们会发现很难找到递归关系。由于判断一个子字符串（字符串下标范围[i, j]）是否回文，依赖于子字符串（下标范围[i + 1, j - 1]））是否是回文。明确了这种递归关系，我们的dp数组是要定义成一位二维dp数组。布尔类型的dp[i] [j]：表示区间范围[i, j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i] [j]为true，否则为false。
2. 确定递推公式。在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i] [j]一定是false。当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况。情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串；情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。
3.  dp数组如何初始化。
4. 确定遍历顺序。首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1] [j - 1]是否为true，再对dp[i][j]进行赋值true的。dp[i + 1] [j - 1] 在 dp[i] [j]的左下角。如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1] [j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1, j-1]，来判断了[i, j]是不是回文，那结果一定是不对的。所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1] [j - 1]都是经过计算的。

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {

        int res = 0;
        vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));

        for(int i = 0; i < s.size(); i++) {dp[i][i] = true; res++;}

        for(int i = s.size() - 1; i >= 0; i--){
            for(int j = i + 1; j < s.size(); j++){
                if(s[i] == s[j] && j - i <= 1){
                     dp[i][j] = true; res++;
                }
                else if(s[i] == s[j] && dp[i + 1][j - 1]) {
                    dp[i][j] = true; res++;
                }
            }
        }
        return res;
    }
};

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义。dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。
2. 确定递推公式。在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;、如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i, j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1])。

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {

        vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size()));

        for(int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;

        for(int i = s.size() - 1; i >= 0; i--){
            for(int j = i + 1; j < s.size(); j++){
                if(s[i] == s[j]) dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] +2;
                else dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
        return dp[0][s.size() - 1];
    }
};

 动态规划总结：代码随想录