浮点数在计算机中的编码方式

news2024/12/27 11:42:14

一、前言

我们常能听到，直接用浮点数做运算得出的结果是不准确的了；或者也能看到涉及到浮点数时，会出现一些奇奇怪怪的问题，比如：

public class DecimalTest {
    public static void main(String[] args) {
        float f1 = 1.2002f;
        float f2 = 100000.2002f;
        System.out.println(f1);
        System.out.println(f2);
    }
}

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输出：
1.2002
100000.2

那么这些现象的底层原理是什么呢？这需要从浮点数在计算机中的编码方式说起。

二、IEEE浮点标准

表示方式

IEEE浮点标准是广泛使用的浮点数编码方式，其用下面的方式表示一个数（和10进制的科学计数法是几乎相同的）：

$V=(-1)^{s}*M*2^{E}$

符号位 s，s = 0为正数，s = 1为负数
尾数 M，一个二进制小数，取值范围一般为 $[1,2)$
阶码 E，表示 2 的 E 次幂

储存方式

在实际存储浮点数时，M和E做了些特殊的编码处理，下面以32位的单精度浮点数为例（即编程语言中的float）。

31位的 s 部分：符号位 s，s = 0为正数，s = 1为负数
30-23位的 exp 部分：由阶码 E 转换而来，转换方式（其中 k 为此部分的 bit 数，即8）：
e(编码值) = Bias(偏移量) + E(阶码) = 2^(k-1) - 1 + E = 127 + E
22-0位的 frac 部分：M 的小数部分，即 M-1

补充说明：

上述为常用的“规格化的值”的实现方式，实际上完整的IEEE标准包括规格化的值、非规格化的值、特殊值3种情况
三种情况通过 exp 部分既不全为0也不全为1、全为0、全为1进行区分
规格化的值用于表示普通常用的值，非规格化的值用于表示非常接近于0的数，特殊值用于表示无穷、非合法数字等情况

三、开头的问题

为什么 100000.2002f 写入 float 后，发生精度丢失变成了 100000.2？

100000.2002 的二进制原码为 11000011010100000.001100110100000001......
转成 IEEE 编码， $V=(-1)^{0}*1.1000011010100000001100110100000001...*2^{16}$
即s=0，exp=127+16=143=10001111，farc=10000110101000000011001(1)=10000110101000000011010(向偶数舍入)。
最终的编码为：0-10001111-10000110101000000011010，对应的数值为：1.10000110101000000011010*2^16 = 11000011010100000.0011010 = 10000.203125