语言
Java
62.不同路径
不同路径
题目
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
思路
动规五部曲
dp数组的含义：本题中代表到达二维数组时的路径个数
初始化：从上到下，第一行的路径都为1，从左到右，第一列的路径都为1
因为只能向右和向下移动
递推公式：左边一个的路径个数加上上面的路径个数等于当前的路径个数
遍历顺序：从左到右遍历，从上到下遍历。
举例推导：判断是否有误
代码
class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n) {
int[][] dp = new int[m][n];
for (int i = 0; i < m; i++) {
dp[i][0] = 1;
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp[0][i] = 1;
}
for (int i = 1; i < m; i++) {//遍历顺序从上到下从左到右
for (int j = 1; j < n; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
}易错点
最开始没有注意到只能从左到右遍历和从上到下遍历。
在进行初始化和遍历条件的时候要认真思考，学会逻辑。
63. 不同路径 II
不同路径 II
题目
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
思路
动规五部曲：
dp数组含义：代表路径个数
初始化：如果无障碍物的话，从上到下，第一行的路径都为1，从左到右，第一列的路径都为1
递推公式：如果无障碍物的话，左边一个的路径个数加上上面的路径个数等于当前的路径个数
循环顺序：从左到右遍历，从上到下遍历。
举例推导：判断是否有误
代码
class Solution {
public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
int m = obstacleGrid.length;
int n = obstacleGrid[0].length;
int[][] dp = new int[m][n];
if (dp[0][0] == 1 || dp[m - 1][n - 1] == 1) return 0;
for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) {
dp[i][0] = 1;
}
for (int i = 0; i < n && obstacleGrid[0][i] == 0; i++) {
dp[0][i] = 1;
}
for (int i = 1; i < m; i++) {//遍历顺序从上到下从左到右
for (int j = 1; j < n; j++) {
if (obstacleGrid[i][j] == 0) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
}易错点
在初始化的时候要判断是否遇到障碍物
在递推公式前要判断是否无障碍
记得判断开头和结尾是否有障碍物
343.整数拆分
整数拆分
题目
给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。
返回 你可以获得的最大乘积 。
思路
动规五部曲
dp数组的含义：对于索引为i时，乘积的最大值
初始化：因为索引为0和索引为1初始值都为0所以只规定为2的时候。
递推公式：通过比较拆解 i和j比较出最大乘积
遍历顺序：先遍历i再遍历j
举例推导dp数组是否有误
代码
class Solution {
public int integerBreak(int n) {
//dp[i] 为正整数 i 拆分后的结果的最大乘积
int[] dp = new int[n+1];
dp[2] = 1;
for(int i = 3; i <= n; i++) {
for(int j = 1; j <= i-j; j++) {
// 这里的 j 其实最大值为 i-j,再大只不过是重复而已，
//并且，在本题中，我们分析 dp[0], dp[1]都是无意义的，
//j 最大到 i-j,就不会用到 dp[0]与dp[1]
dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j]));
// j * (i - j) 是单纯的把整数 i 拆分为两个数 也就是 i,i-j ，再相乘
//而j * dp[i - j]是将 i 拆分成两个以及两个以上的个数,再相乘。
}
}
return dp[n];
}
}易错点
初始化的时候要初始化索引为2的时候
max方法比较两个值。
96.不同的二叉搜索树
不同的二叉搜索树
题目
给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。
思路
动规五部曲
dp数组含义：节点数为i时，有多少种树
初始化：索引为0和1时都初始化为1
递推公式：把j当作根节点j - 1是左子树i - j是右子树。累加到dp[i]中。
遍历顺序：从i当根节点开始遍历，在考虑j为根节点的情况开始遍历。
举例推导：判断是否正确。遍历打印出来可以。
代码
class Solution {
public int numTrees(int n) {
//初始化 dp 数组
int[] dp = new int[n + 1];
//初始化0个节点和1个节点的情况
dp[0] = 1;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= i; j++) {
//对于第i个节点，需要考虑1作为根节点直到i作为根节点的情况，所以需要累加
//一共i个节点，对于根节点j时,左子树的节点个数为j-1，右子树的节点个数为i-j
dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
}
}
return dp[n];
}
}易错点
索引为0的时候初始值要赋值为1
总结
动态规划第二天
