目标

在本实验室，你可以看到

• 更新逻辑回归的梯度下降。
• 在一个熟悉的数据集上探索梯度下降

import copy, math
import numpy as np
%matplotlib widget
import matplotlib.pyplot as plt
from lab_utils_common import  dlc, plot_data, plt_tumor_data, sigmoid, compute_cost_logistic
from plt_quad_logistic import plt_quad_logistic, plt_prob
plt.style.use('./deeplearning.mplstyle')

数据集

让我们从决策边界实验室中使用的相同的两个特征数据集开始。

X_train = np.array([[0.5, 1.5], [1,1], [1.5, 0.5], [3, 0.5], [2, 2], [1, 2.5]])
y_train = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1])

和前面一样，我们将使用一个辅助函数来绘制这些数据。标签为$y=1$的数据点显示为红色叉，而标签为$y=0$的数据点显示为蓝色圆。

fig,ax = plt.subplots(1,1,figsize=(4,4))
plot_data(X_train, y_train, ax)

ax.axis([0, 4, 0, 3.5])
ax.set_ylabel('$x_1$', fontsize=12)
ax.set_xlabel('$x_0$', fontsize=12)
plt.show()

逻辑回归的梯度下降

回想一下梯度下降算法利用了梯度计算:
repeat until convergence:    {        w j = w j − α ∂ J ( w , b ) ∂ w j    for j := 0..n-1            b = b − α ∂ J ( w , b ) ∂ b } \begin{align*} &\text{repeat until convergence:} \; \lbrace \\ & \; \; \;w_j = w_j - \alpha \frac{\partial J(\mathbf{w},b)}{\partial w_j} \tag{1} \; & \text{for j := 0..n-1} \\ & \; \; \; \; \;b = b - \alpha \frac{\partial J(\mathbf{w},b)}{\partial b} \\ &\rbrace \end{align*} ​repeat until convergence:{wj​=wj​−α∂wj​∂J(w,b)​b=b−α∂b∂J(w,b)​}​for j := 0..n-1(1)​

其中每次迭代对所有$j$同时执行$w_j$的更新，
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial J(\mathbf{w},b)}{\partial w_j}& =\frac{1}{m}\sum _{i=0}^{m-1}(f_{\mathbf{w},b}({\mathbf{x}}^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}\\ \frac{\partial J(\mathbf{w},b)}{\partial b}& =\frac{1}{m}\sum _{i=0}^{m-1}(f_{\mathbf{w},b}({\mathbf{x}}^{(i)})-y^{(i)})\end{array}\text{\hspace{1em}(2)(3)}$$

• M是数据集中训练样例的个数
• $f_{\mathbf{w}，b}(x^{(i)})$是模型的预测，而$y^{(i)}$是目标
• 对于逻辑回归模型
  $z=\mathbf{w}\cdot \mathbf{x}+b$
  $f_{\mathbf{w},b}(x)=g(z)$
  where $g(z)$ is the sigmoid function:
  $g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$

梯度下降实现

梯度下降算法的实现有两个部分:

• 实现上述公式(1)的循环。这是下面的gradient_descent，通常在可选和实践实验室中提供给您。
• 流速梯度的计算，如式(2、3)所示。这是下面的compute_gradient_logistic。你将被要求完成本周的实践实验。

计算梯度，代码描述

对所有$w_j$和$b$实现上述式(2)、(3)。
有很多方法可以实现这一点。下面概述如下:

• 初始化变量累加’ dj_dw ‘和’ dj_db ’

对于这些例子

• 计算该示例的误差$g(\mathbf{w}\cdot {\mathbf{x}}^{(i)}+b)-{\mathbf{y}}^{(i)}$
• 对于本例中的每个输入值$x_j^{(i)}$，
  • 将错误值乘以输入的$x_j^{(i)}$，并加上’ dj_dw '的相应元素。(上式2)
• 将错误添加到’ dj_db '(上面的公式3)
• 用’ dj_db ‘和’ dj_dw '除以样本总数(m)
• 注意,${\mathbf{x}}^{(i)}$在numpy 或者 X[i,:]orX[i]和$x_j^{(i)}$ is `X[i,j]

def compute_gradient_logistic(X, y, w, b): 
    """
    Computes the gradient for linear regression 
 
    Args:
      X (ndarray (m,n): Data, m examples with n features
      y (ndarray (m,)): target values
      w (ndarray (n,)): model parameters  
      b (scalar)      : model parameter
    Returns
      dj_dw (ndarray (n,)): The gradient of the cost w.r.t. the parameters w. 
      dj_db (scalar)      : The gradient of the cost w.r.t. the parameter b. 
    """
    m,n = X.shape
    dj_dw = np.zeros((n,))                           #(n,)
    dj_db = 0.

    for i in range(m):
        f_wb_i = sigmoid(np.dot(X[i],w) + b)          #(n,)(n,)=scalar
        err_i  = f_wb_i  - y[i]                       #scalar
        for j in range(n):
            dj_dw[j] = dj_dw[j] + err_i * X[i,j]      #scalar
        dj_db = dj_db + err_i
    dj_dw = dj_dw/m                                   #(n,)
    dj_db = dj_db/m                                   #scalar
        
    return dj_db, dj_dw  

使用下面的单元格检查梯度函数的实现。

X_tmp = np.array([[0.5, 1.5], [1,1], [1.5, 0.5], [3, 0.5], [2, 2], [1, 2.5]])
y_tmp = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1])
w_tmp = np.array([2.,3.])
b_tmp = 1.
dj_db_tmp, dj_dw_tmp = compute_gradient_logistic(X_tmp, y_tmp, w_tmp, b_tmp)
print(f"dj_db: {dj_db_tmp}" )
print(f"dj_dw: {dj_dw_tmp.tolist()}" )

预期结果

dj_db: 0.49861806546328574
dj_dw: [0.498333393278696, 0.49883942983996693]

梯度下降代码

实现上述方程(1)的代码如下所示。花点时间定位和比较例程中的函数与上面的方程。

def gradient_descent(X, y, w_in, b_in, alpha, num_iters): 
    """
    Performs batch gradient descent
    
    Args:
      X (ndarray (m,n)   : Data, m examples with n features
      y (ndarray (m,))   : target values
      w_in (ndarray (n,)): Initial values of model parameters  
      b_in (scalar)      : Initial values of model parameter
      alpha (float)      : Learning rate
      num_iters (scalar) : number of iterations to run gradient descent
      
    Returns:
      w (ndarray (n,))   : Updated values of parameters
      b (scalar)         : Updated value of parameter 
    """
    # An array to store cost J and w's at each iteration primarily for graphing later
    J_history = []
    w = copy.deepcopy(w_in)  #avoid modifying global w within function
    b = b_in
    
    for i in range(num_iters):
        # Calculate the gradient and update the parameters
        dj_db, dj_dw = compute_gradient_logistic(X, y, w, b)   

        # Update Parameters using w, b, alpha and gradient
        w = w - alpha * dj_dw               
        b = b - alpha * dj_db               
      
        # Save cost J at each iteration
        if i<100000:      # prevent resource exhaustion 
            J_history.append( compute_cost_logistic(X, y, w, b) )

        # Print cost every at intervals 10 times or as many iterations if < 10
        if i% math.ceil(num_iters / 10) == 0:
            print(f"Iteration {i:4d}: Cost {J_history[-1]}   ")
        
    return w, b, J_history         #return final w,b and J history for graphing

让我们对数据集运行梯度下降。

w_tmp  = np.zeros_like(X_train[0])
b_tmp  = 0.
alph = 0.1
iters = 10000

w_out, b_out, _ = gradient_descent(X_train, y_train, w_tmp, b_tmp, alph, iters) 
print(f"\nupdated parameters: w:{w_out}, b:{b_out}")

我们来绘制梯度下降的结果:

fig,ax = plt.subplots(1,1,figsize=(5,4))
# plot the probability 
plt_prob(ax, w_out, b_out)

# Plot the original data
ax.set_ylabel(r'$x_1$')
ax.set_xlabel(r'$x_0$')   
ax.axis([0, 4, 0, 3.5])
plot_data(X_train,y_train,ax)

# Plot the decision boundary
x0 = -b_out/w_out[1]
x1 = -b_out/w_out[0]
ax.plot([0,x0],[x1,0], c=dlc["dlblue"], lw=1)
plt.show()

在上图中:

• 阴影反映了概率y=1(决策边界之前的结果)
• 决策边界是概率= 0.5处的那条线

添加另外一组数据集

让我们回到单变量数据集。仅使用两个参数，$w$， $b$，就可以使用等高线图来绘制成本函数，从而更好地了解梯度下降的情况。

x_train = np.array([0., 1, 2, 3, 4, 5])
y_train = np.array([0,  0, 0, 1, 1, 1])

和前面一样，我们将使用一个辅助函数来绘制这些数据。标签为$y=1$的数据点显示为红色叉，而标签为$y=0$的数据点显示为黑色圆。

fig,ax = plt.subplots(1,1,figsize=(4,3))
plt_tumor_data(x_train, y_train, ax)
plt.show()

在下面的图中，尝试:

• 通过点击右上角的等高线图来改变$w$和$b$。

  • 改变可能需要一两秒钟
  • 请注意左上角图中成本值的变化。
  • 注意，每个示例中的成本是通过损失累积的(垂直虚线)
  • 点击等高线图将重置模型以进行新的运行

• 要重置绘图，请重新运行单元格

w_range = np.array([-1, 7])
b_range = np.array([1, -14])
quad = plt_quad_logistic( x_train, y_train, w_range, b_range )

祝贺

你已经

• 考察了逻辑回归的梯度计算的公式和实现
• 利用这些例程
  • 探索单个变量数据集
  • 探索一个双变量数据集