最近在看脑机接口的网络，看到有使用通道的皮尔森相关系数作为特征的方法，这里记录一下皮尔森相关系数的学习内容，方便以后查阅。

相关系数

相关系数是最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标，是研究变量之间线性相关程度的量，一般用字母 r表示。由于研究对象的不同，相关系数有多种定义方式，较为常用的是皮尔逊相关系数。

有关相关系数的内容在这篇文中也有介绍：【协方差】【相关系数】【协方差矩阵】【散度矩阵】

相关关系是一种非确定性的关系，相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。由于研究对象的不同，相关系数有如下几种定义方式。

简单相关系数

也就是皮尔森相关系数，又叫相关系数或线性相关系数，一般用字母r表示，用来度量两个变量间的线性关系。

$$r(X,Y)=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var[X]Var[Y]}}$$

其中，$Cov(X,Y)$为$X$与$Y$的协方差，$Var[X]$为$X$的方差，$Var[Y]$为$Y$的方差

numpy.corrcoef

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(seed=42)
xarr = rng.random((3, 3))
xarr
array([[0.77395605, 0.43887844, 0.85859792],
       [0.69736803, 0.09417735, 0.97562235],
       [0.7611397 , 0.78606431, 0.12811363]])
R1 = np.corrcoef(xarr)
R1
array([[ 1.        ,  0.99256089, -0.68080986],
       [ 0.99256089,  1.        , -0.76492172],
       [-0.68080986, -0.76492172,  1.        ]])

yarr = rng.random((3, 3))
yarr
array([[0.45038594, 0.37079802, 0.92676499],
       [0.64386512, 0.82276161, 0.4434142 ],
       [0.22723872, 0.55458479, 0.06381726]])
R2 = np.corrcoef(xarr, yarr)
R2
array([[ 1.        ,  0.99256089, -0.68080986,  0.75008178, -0.934284  ,  -0.99004057],
       [ 0.99256089,  1.        , -0.76492172,  0.82502011, -0.97074098,  -0.99981569],
       [-0.68080986, -0.76492172,  1.        , -0.99507202,  0.89721355,  0.77714685],
       [ 0.75008178,  0.82502011, -0.99507202,  1.        , -0.93657855,  -0.83571711],
       [-0.934284  , -0.97074098,  0.89721355, -0.93657855,  1.        ,  0.97517215],
       [-0.99004057, -0.99981569,  0.77714685, -0.83571711,  0.97517215,  1.        ]])

复相关系数

定义: 复相关系数反映一个随机变量与一组随机变量(两个或两个以上)之间相关程度的指标，是包含所有变量在内的综合测定指标

为了测定一个变量$y$与其他多个变量$X_1,X_2,\dots ，X_k$之间的相关系数，可以考虑构造一个关于$X_1,X_2,\dots ，X_k$的线性组合$\hat{y}$来拟合$y$，通过计算该线性组合$\hat{y}$与$y$之间的简单相关系数作为变量$y$与$X_1,X_2,\dots ，X_k$之间的复相关系数。具体的计算过程如下：

第一步，用$y$对$X_1,X_2,\dots ，X_k$做回归分析，得：

$$\hat{y}=\widehat{{\beta }_0}+\widehat{{\beta }_1}{X}_1+\widehat{{\beta }_2}{X}_2+\dots +\widehat{{\beta }_k}{X}_k$$

第二步，计算$y$与$\hat{y}$之间的简单相关系数，此简单相关系数即为$y$与$X_1,X_2,\dots ，X_k$之间的复相关系数。复相关系数的计算公式为：

$$R=\frac{\sum (y-\bar{y})(\hat{y}-\bar{y})}{\sqrt{\sum (y-\bar{y}{)}^2\cdot \sum (\hat{y}-\bar{y}{)}^2}}$$

注：之所以用$R$表示复相关系数，是因为$R^2$恰好是线性回归方程的决定系数（用于检验回归方程对观测的拟合程度）

典型相关系数

是先对原来各组变量进行主成分分析，得到新的线性关系的综合指标，再通过综合指标之间的线性相关系数来研究原各组变量间相关关系。

参考资料

相关系数

【中国地质大学北京】数学在地学中的应用