《通用顺序搜索问题》
L. A. Levin
摘要
本文研究了几种著名的“顺序搜索类型”问题，并证明这些问题只能在解决任何同类型问题所需的时间内得到解决。
1 简介
在阐明算法的概念之后，证明了许多经典问题的算法不可解性（例如，群元素恒等问题、流形的同胚问题、丢番图方程的可解性等）。这消除了寻找解决这些问题的实用方法的问题。然而，解决其他问题的算法的存在并没有消除它们的类似问题，因为这些算法规定的工作量非常大。这就是所谓的顺序搜索问题的情况：布尔函数的最小化、有限长度的证明搜索、确定图同构等。所有这些问题都通过枚举所有可能性的简单算法来解决。然而，这些算法需要指数级的工作时间，数学家们已经形成了这样的信念：更简单的算法是不可能的。已经获得了许多支持其有效性的严肃论据（参见[1, 2]），但没有人能够证明这一说法。（例如，尚未证明找到数学证明所需的时间比验证它们所需的时间更多。）但是，如果我们假设存在一些（甚至是人为构造的）顺序搜索类型的问题，而这些问题无法通过简单的算法（就计算量而言）解决，那么可以证明许多“经典”顺序搜索问题（包括最小化问题、证明搜索问题等）也具有此属性。这构成了本文的主要结果。
2 定义和问题
如果对于某个 k：
且
则函数 f(n) 和 g(n) 相互间被称为可比函数：
同样，我们将理解“小于或可比”一词。
定义 1. 顺序搜索类型问题（或简称顺序搜索问题）将被称为以下形式的问题：“给定 x，找到某个长度与 x 的长度相当的 y，使得 A(x, y) 得到满足”，其中 A(x, y) 是某个可通过工作时间与 x 的长度相当的算法验证的属性。（这里，算法可以理解为，例如，Kolmogorov-Uspensky 算法或
图灵机，或正常算法；x、y 是二进制字）。准序列搜索问题将被称为确定这样的 y 是否存在的问题。
我们将考虑这六种类型的问题。其中考虑的对象以二进制字的形式自然编码。自然编码的选择并不重要，因为它们都提供可比较的代码长度。
1. 给定基数的子覆盖
- **问题**：给定一个有限集合 \( S \) 及其由500个元素子集构成的覆盖，找出一个基数为 \( k \) 的子覆盖（或确定是否存在这样的子覆盖）。
2. 给定大小的析取范式（DNF）
- **问题**：给定一个部分布尔函数的表格形式。找出一个大小为给定值的析取范式（DNF）来实现这个函数在定义域内（或确定是否存在这样的 DNF）。
3. 命题公式的可推导性或可否定性
- **问题**：确定一个给定的命题逻辑公式是否可推导（即是否能从公理中推出）或可否定（即是否不可满足）（或者等价地，确定一个给定的布尔公式是否等于一个常量）。
4. 图同态的寻找
- **问题**：给定两个图，找出一个从一个图到另一个图的同态映射（或确定是否存在这样的映射）。
5. 图同构的寻找
- **问题**：给定两个图，找出一个同构映射（或确定是否存在这样的映射）从一个图到另一个图（或到其一个子图）。
6. 矩阵填充与条件
- **问题**：我们考虑一个整数矩阵，其中的整数范围从1到100，并且有关于哪些数字可以垂直或水平相邻的条件。边界上的数字已经给出，要求在满足这些条件的情况下填充整个矩阵。
3 主要结果
设 f(n) 为单调函数。
定理 1. 如果存在任何顺序搜索（准顺序搜索）类型的问题，且其求解时间不能少于 f(n)，且参数长度与 n 相当，则问题 1-6 也具有此性质。
证明的思路是，问题 1-6 是“通用顺序搜索问题”。
定义 2. 设 A(x, y) 和 B(x, y) 分别定义顺序搜索问题 A 和 B。如果有三种算法 r(x)、p(y) 和 s(y)，其工作时间与参数长度相当，使得 A(x, p(y)) ⇔ B(r(x), y) 和 A(x, y) ⇔ B(r(x), s(y))（即，从 A 问题 x，很容易构造出等效的 B 问题 r(x)），则我们称问题 A 归结为 B。任何顺序搜索问题归结为的问题都称为“通用问题”。因此，定理 1 的证明实质在于以下引理。引理 1。问题 1-6 是通用顺序搜索问题。对于大多数有趣的顺序搜索问题，所述方法显然可以轻松获得定理 1 和引理 1 等结果。但是，问题仍然是证明此定理中存在的条件。长期以来，人们在这个方向上进行了大量的尝试，并获得了许多有趣的结果（例如，参见 [3, 4]）。然而，各种顺序搜索问题的普遍性可以在不解决这个问题的情况下建立。在 Kolmogorov-Uspensky 算法系统中，还可以证明以下内容：
定理 2。对于任意顺序搜索问题 A(x, y)，存在一种算法，可以在乘以常数和添加与 x 的长度相当的值的时间内以最优时间解决它。
