跳表（Skip List）是一种用于有序数据存储的数据结构，它在链表的基础上增加了多级索引，从而提高了查找、插入和删除操作的效率。跳表的平均时间复杂度为 O ( log n ) O(\log n) O(logn)，与平衡二叉搜索树（如 AVL 树、红黑树）相当，但实现和维护相对简单。
跳表的结构
跳表由多层链表组成，每一层都是一个有序链表。最底层（Level 0）包含所有元素，每一层的元素是下一层元素的子集。通过在多层链表中进行跳跃，可以快速定位到目标元素。
- Level 0：包含所有元素的有序链表。
- Level 1：包含部分元素的有序链表，通常是 Level 0 的元素的子集。
- Level 2：包含更少元素的有序链表，通常是 Level 1 的元素的子集。
- …
跳表的操作
-
查找：
从最高层开始，逐层向下查找，直到找到目标元素或确定元素不存在。每层查找时，如果当前元素小于目标元素，则向右移动；否则，向下移动到下一层。 -
插入：
首先找到插入位置，然后在每一层随机决定是否插入新元素。插入时，需要更新相应层的前后指针。 -
删除：
首先找到要删除的元素，然后在每一层删除该元素，并更新相应层的前后指针。
跳表的优点
- 高效：跳表的查找、插入和删除操作的平均时间复杂度为 O ( log n ) O(\log n) O(logn)。
- 简单：相比于平衡二叉树，跳表的实现和维护相对简单。
- 动态性：跳表可以动态调整索引层数，适应数据的变化。
跳表的实现
以下是一个简单的跳表实现示例（Java 代码）：
import java.util.Random;
class SkipListNode {
int value;
SkipListNode[] forward;
public SkipListNode(int value, int level) {
this.value = value;
this.forward = new SkipListNode[level + 1];
}
}
public class SkipList {
private static final int MAX_LEVEL = 16;
private final SkipListNode head = new SkipListNode(-1, MAX_LEVEL);
private int level = 0;
private final Random random = new Random();
public void insert(int value) {
SkipListNode[] update = new SkipListNode[MAX_LEVEL + 1];
SkipListNode current = head;
for (int i = level; i >= 0; i--) {
while (current.forward[i] != null && current.forward[i].value < value) {
current = current.forward[i];
}
update[i] = current;
}
int newLevel = randomLevel();
if (newLevel > level) {
for (int i = level + 1; i <= newLevel; i++) {
update[i] = head;
}
level = newLevel;
}
SkipListNode newNode = new SkipListNode(value, newLevel);
for (int i = 0; i <= newLevel; i++) {
newNode.forward[i] = update[i].forward[i];
update[i].forward[i] = newNode;
}
}
public boolean search(int value) {
SkipListNode current = head;
for (int i = level; i >= 0; i--) {
while (current.forward[i] != null && current.forward[i].value < value) {
current = current.forward[i];
}
}
current = current.forward[0];
return current != null && current.value == value;
}
public void delete(int value) {
SkipListNode[] update = new SkipListNode[MAX_LEVEL + 1];
SkipListNode current = head;
for (int i = level; i >= 0; i--) {
while (current.forward[i] != null && current.forward[i].value < value) {
current = current.forward[i];
}
update[i] = current;
}
current = current.forward[0];
if (current != null && current.value == value) {
for (int i = 0; i <= level; i++) {
if (update[i].forward[i] != current) {
break;
}
update[i].forward[i] = current.forward[i];
}
while (level > 0 && head.forward[level] == null) {
level--;
}
}
}
private int randomLevel() {
int newLevel = 0;
while (random.nextInt(2) == 0 && newLevel < MAX_LEVEL) {
newLevel++;
}
return newLevel;
}
public static void main(String[] args) {
SkipList skipList = new SkipList();
skipList.insert(1);
skipList.insert(2);
skipList.insert(3);
System.out.println(skipList.search(1)); // true
System.out.println(skipList.search跳表（Skip List）是一种基于链表的数据结构，旨在提高有序链表的查找效率。它通过在链表上建立多级索引，使得查找、插入和删除操作的时间复杂度从 $O(n)$ 降低到 $O(\log n)$，接近于平衡树的性能，但实现和维护相对简单。
### 跳表的结构
跳表由多层链表组成，每一层都是一个有序链表。最底层（Level 0）包含所有元素，而每一层的元素是下一层元素的子集。每个元素在跳表中的层数是随机确定的，通常遵循几何分布。
- **Level 0**：包含所有元素。
- **Level 1**：包含部分元素，作为 Level 0 的索引。
- **Level 2**：包含更少的元素，作为 Level 1 的索引。
- **...**
- **Level k**：包含最少的元素，作为 Level k-1 的索引。
### 跳表的操作
1. **查找**：
从最高层开始，逐层向下查找，直到找到目标元素或确定元素不存在。每一层的查找都是线性的，但由于层数较少，总体查找效率较高。
2. **插入**：
插入元素时，首先确定该元素在每一层的位置，然后在相应层次插入该元素。插入时需要更新相应的索引。
3. **删除**：
删除元素时，首先在每一层查找到该元素的位置，然后在相应层次删除该元素。删除时需要更新相应的索引。
### 跳表的时间复杂度
- **查找**：$O(\log n)$
- **插入**：$O(\log n)$
- **删除**：$O(\log n)$
### 跳表的优点
- **简单性**：跳表的实现和维护相对简单，代码量较少。
- **高效性**：跳表的查找、插入和删除操作的时间复杂度接近于平衡树。
- **动态性**：跳表可以动态调整，不需要复杂的旋转操作。
### 跳表的实现示例（Java）
以下是一个简单的跳表实现示例：
```java
import java.util.Random;
class SkipListNode {
int value;
SkipListNode[] forward;
public SkipListNode(int value, int level) {
this.value = value;
this.forward = new SkipListNode[level + 1];
}
}
public class SkipList {
private static final int MAX_LEVEL = 16;
private SkipListNode head;
private int level;
private Random random;
public SkipList() {
this.head = new SkipListNode(-1, MAX_LEVEL);
this.level = 0;
this.random = new Random();
}
private int randomLevel() {
int lvl = 0;
while (random.nextInt(2) == 1 && lvl < MAX_LEVEL) {
lvl++;
}
return lvl;
}
public void insert(int value) {
SkipListNode[] update = new SkipListNode[MAX_LEVEL + 1];
SkipListNode x = head;
for (int i = level; i >= 0; i--) {
while (x.forward[i] != null && x.forward[i].value < value) {
x = x.forward[i];
}
update[i] = x;
}
int lvl = randomLevel();
if (lvl > level) {
for (int i = level + 1; i <= lvl; i++) {
update[i] = head;
}
level = lvl;
}
x = new SkipListNode(value, lvl);
for (int i = 0; i <= lvl; i++) {
x.forward[i] = update[i].forward[i];
update[i].forward[i] = x;
}
}
public boolean search(int value) {
SkipListNode x = head;
for (int i = level; i >= 0; i--) {
while (x.forward[i] != null && x.forward[i].value < value) {
x = x.forward[i];
}
}
x = x.forward[0];
return x != null && x.value == value;
}
public void delete(int value) {
SkipListNode[] update = new SkipListNode[MAX_LEVEL + 1];
SkipListNode x = head;
for (int i = level; i >= 0; i--) {
while (x.forward[i] != null && x.forward[i].value < value) {
x = x.forward[i];
}
update[i] = x;
}
x = x.forward[0];
if (x != null && x.value == value) {
for (int i = 0; i <= level; i++) {
if (update[i].forward[i] != x) {
break;
}
update[i].forward[i] = x.forward[i];
}
while (level > 0 && head.forward[level] == null) {
level--;
}
}
}
public static void main(String[] args) {
SkipList skipList = new SkipList();
skipList.insert(1);
skipList.insert(2);
skipList.insert(3);
System.out.println(skipList.search(1)); // true
System.out.println(skipList.search(4)); // false
skipList.delete(1);
System.out.println(skipList.search(1)); // false
}
}
这个示例展示了跳表的基本操作，包括插入、查找和删除。通过使用多级索引，跳表可以在保持简单性的同时提供高效的查找、插入和删除操作。
