零基础为了学人工智能，真的开始复习高数

本次学习笔记，主要讲解函数极限的计算问题。

极限四则运算规则

这里有几个需要注意的地方。函数极限的四则运算，需要知道极限存在才能大胆放心的使用。而且使用超实数的概念会更好帮助我们理解，极限的运算。以下图来说。

大量的同学，会直接因为sinx除以1，极限下等于1，所以1-1，最后就上面为1-1，最后结果为0。这里有几个角度的解释，为什么这种计算错误。

第一，一个超实数减去一个实数，这种计算不恰当。

第二，如果理解泰勒展开，其实sinx-x，不仅仅是1，还包含了更小的多项式，你并不知道这个多项式会剩下什么，因此直接相减，这是不可以的。

另外一种错误，如下图。

为什么这种替换也是错误的呢，因为这里也包含了超实数与实数之间的计算。可以想到下面的式子是超实数的实数部分为e，但是并不是整个式子为e。但是如果直接把下面的式子替代上去，分子的e的x次方，却又成了实数计算。

一步到位，直接进行替换没问题，错误就错误在，超实数替换完以后，你再来一个实数运算，变成e的x次方，这就有问题了。

其实都是做恒等变型，要转变成极限存在的形式再得结果。

最后解释一下，恒等变形的理解。恒等变形，其实是上下同乘，同除。

再来理解一遍，极限运算规则

两个函数的加减是实数范围内的运算，一旦使用上极限，其实就转变为了超实数运算。但是为什么后面可以拆开写呢？因为，两个极限都存在！那还是可以本质化为实数运算的。

记住，没有确定极限存在，不能随意对超实数加减。

当然，这里其实也可以使用泰勒展开来理解~超实数用一个实数+（高阶）无穷小理解。

如果有简单存在的实数，那计算过程是可以提取到外面的。

另外，张宇老师对微积分可以计算，不存在+存在的解释其实比较清楚。因为不存在+存在，超实数领域是要得到一个算数结果，但是微积分里面是做积分求面积，目标不同，所以对计算要求不同。

极限计算的一个重要技巧

上述式子有一个细节，第二个式子，整体A不能等于0，为什么？因为要把整体作为分母，所以不不能等于零。

来一个练习题试试手。

主要参考：《2025考研数学全程班 基础30讲 张宇考研数学！》