一、问题介绍

斯特灵（Stirling）近似式，是数学分析中，用于求阶乘近似值的一个常用公式，其简单的表述形式为：

二、Python实现

使用Python，循环从n=1至n=98，分别输出n的阶乘值、斯特灵公式近似值，以及二者的比值。程序如下：

import math

ans = 1
appro = 1
for n in range(1, 99):
    appro = math.sqrt(2 * math.pi * n) * math.pow(n / math.e, n)
    print("斯特灵近似值：", appro)
    ans *= n
    print("真实值：", ans)
    print("比值：", appro / ans)

程序输出：

"C:\Program Files\Python312\python.exe" "C:\Users\lycbu\Desktop\Python组合数学\第 4 章  《生成排列和组合》\generating_sequence.py" 
斯特灵近似值： 0.9221370088957891
真实值： 1
比值： 0.9221370088957891
斯特灵近似值： 1.9190043514889832
真实值： 2
比值： 0.9595021757444916
斯特灵近似值： 5.836209591345864
真实值： 6
比值： 0.972701598557644
斯特灵近似值： 23.506175132893294
真实值： 24
比值： 0.9794239638705539
斯特灵近似值： 118.0191679575901
真实值： 120
比值： 0.9834930663132508
斯特灵近似值： 710.078184642185
真实值： 720
比值： 0.9862197008919236
斯特灵近似值： 4980.395831612462
真实值： 5040
比值： 0.9881737761135837
斯特灵近似值： 39902.39545265671
真实值： 40320
比值： 0.9896427443615256
斯特灵近似值： 359536.87284194835
真实值： 362880
比值： 0.9907872377699194
斯特灵近似值： 3598695.6187410373
真实值： 3628800
比值： 0.9917040395560619
斯特灵近似值： 39615625.05057755
真实值： 39916800
比值： 0.9924549325240889
斯特灵近似值： 475687486.47277606
真实值： 479001600
比值： 0.993081205726194
斯特灵近似值： 6187239475.19272
真实值： 6227020800
比值： 0.9936114996103306
斯特灵近似值： 86661001740.59883
真实值： 87178291200
比值： 0.9940663042108221
斯特灵近似值： 1300430722199.468
真实值： 1307674368000
比值： 0.9944606654548023
斯特灵近似值： 20814114415223.137
真实值： 20922789888000
比值： 0.994805880412765
斯特灵近似值： 353948328666101.1
真实值： 355687428096000
比值： 0.9951105962917827
斯特灵近似值： 6372804626194313.0
真实值： 6402373705728000
比值： 0.9953815442689276
斯特灵近似值： 1.2111278659229419e+17
真实值： 121645100408832000
比值： 0.9956240422775042
斯特灵近似值： 2.422786846761135e+18
真实值： 2432902008176640000
比值： 0.9958423473771203
斯特灵近似值： 5.088861732550975e+19
真实值： 51090942171709440000
比值： 0.9960399077096737
斯特灵近似值： 1.1197514946282378e+21
真实值： 1124000727777607680000
比值： 0.996219545909217
斯特灵近似值： 2.575852537052931e+22
真实值： 25852016738884976640000
比值： 0.9963835947771517
斯特灵近似值： 6.182979270227948e+23
真实值： 620448401733239439360000
比值： 0.9965339991134844
斯特灵近似值： 1.5459594834691181e+25
真实值： 15511210043330985984000000
比值： 0.9966723931598105
斯特灵近似值： 4.020009930609553e+26
真实值： 403291461126605635584000000
比值： 0.9968001602066026
斯特灵近似值： 1.0855315170319531e+28
真实值： 10888869450418352160768000000
比值： 0.9969184789796951
斯特灵近似值： 3.0398232624334186e+29
真实值： 304888344611713860501504000000
比值： 0.9970283601049891
斯特灵近似值： 8.81639210537749e+30
真实值： 8841761993739701954543616000000
比值： 0.9971306750419006
斯特灵近似值： 2.6451709592296516e+32
真实值： 265252859812191058636308480000000
比值： 0.9972261792398889
斯特灵近似值： 8.200764697241122e+33
真实值： 8222838654177922817725562880000000
比值： 0.9973155308202983
斯特灵近似值： 2.6244651408193303e+35
真实值： 263130836933693530167218012160000000
比值： 0.9973993057608336
斯特灵近似值： 8.661418381417958e+36
真实值： 8683317618811886495518194401280000000
比值： 0.9974780103233257
斯特灵近似值： 2.9451009609982435e+38
真实值： 295232799039604140847618609643520000000
比值： 0.9975520912915815
斯特灵近似值： 1.0308575166584033e+40
真实值： 10333147966386144929666651337523200000000
比值： 0.9976219444566121
斯特灵近似值： 3.711332490874158e+41
真实值： 371993326789901217467999448150835200000000
比值： 0.9976879216895974
斯特灵近似值： 1.3732789283357648e+43
真实值： 13763753091226345046315979581580902400000000
比值： 0.9977503368693503
斯特灵近似值： 5.218769211900575e+44
真实值： 523022617466601111760007224100074291200000000
比值： 0.9978094708750969
斯特灵近似值： 2.0354344348300693e+46
真实值： 20397882081197443358640281739902897356800000000
比值： 0.9978655758120651
斯特灵近似值： 8.142172644946236e+47
真实值： 815915283247897734345611269596115894272000000000
比值： 0.9979188786040203
斯特灵近似值： 3.3384604069916416e+49
真实值： 33452526613163807108170062053440751665152000000000
比值： 0.9979695840606352
斯特灵近似值： 1.4022212235243676e+51
真实值： 1405006117752879898543142606244511569936384000000000
比值： 0.9980178775072052
斯特灵近似值： 6.029829470665712e+52
真实值： 60415263063373835637355132068513997507264512000000000
比值： 0.9980639270478056
斯特灵近似值： 2.6532418206505554e+54
真实值： 2658271574788448768043625811014615890319638528000000000
比值： 0.9981078855202017
斯特灵近似值： 1.1940090686044361e+56
真实值： 119622220865480194561963161495657715064383733760000000000
比值： 0.9981498921903026
斯特灵近似值： 5.492662822140226e+57
真实值： 5502622159812088949850305428800254892961651752960000000000
比值： 0.9981900742259572
斯特灵近似值： 2.5816510284825745e+59
真实值： 258623241511168180642964355153611979969197632389120000000000
比值： 0.9982285479826416
斯特灵近似值： 1.2392382664425307e+61
真实值： 12413915592536072670862289047373375038521486354677760000000000
比值： 0.9982654201287052
斯特灵近似值： 6.072482645765103e+62
真实值： 608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000
比值： 0.9983007886329174
斯特灵近似值： 3.036344593938168e+64
真实值： 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000
比值： 0.9983347436336244
斯特灵近似值： 1.5485863474941077e+66
真实值： 1551118753287382280224243016469303211063259720016986112000000000000
比值： 0.99836736820575
斯特灵近似值： 8.052902038388715e+67
真实值： 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000
比值： 0.9983987390393719
斯特灵近似值： 4.268167130531859e+69
真实值： 4274883284060025564298013753389399649690343788366813724672000000000000
比值： 0.9984289270415383
斯特灵近似值： 2.3048773586655146e+71
真实值： 230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000
比值： 0.9984579978713181
斯特灵近似值： 1.267718115662497e+73
真实值： 12696403353658275925965100847566516959580321051449436762275840000000000000
比值： 0.9984860124164401
斯特灵近似值： 7.099413522574659e+74
真实值： 710998587804863451854045647463724949736497978881168458687447040000000000000
比值： 0.9985130272189967
斯特灵近似值： 4.04677135197153e+76
真实值： 40526919504877216755680601905432322134980384796226602145184481280000000000000
比值： 0.9985390948563266
斯特灵近似值： 2.3471865464234703e+78
真实值： 2350561331282878571829474910515074683828862318181142924420699914240000000000000
比值： 0.9985642642825379
斯特灵近似值： 1.3848737857596246e+80
真实值： 138683118545689835737939019720389406345902876772687432540821294940160000000000000
比值： 0.9985885811353248
斯特灵近似值： 8.3094383149767e+81
真实值： 8320987112741390144276341183223364380754172606361245952449277696409600000000000000
比值： 0.9986120880121295
斯特灵近似值： 5.068872779161898e+83
真实值： 507580213877224798800856812176625227226004528988036003099405939480985600000000000000
比值： 0.9986348247191474
斯特灵近似值： 3.1427703689082454e+85
真实值： 31469973260387937525653122354950764088012280797258232192163168247821107200000000000000
比值： 0.9986568284963022
斯特灵近似值： 1.9799875733185862e+87
真实值： 1982608315404440064116146708361898137544773690227268628106279599612729753600000000000000
比值： 0.9986781342207176
斯特灵近似值： 1.2672182368568135e+89
真实值： 126886932185884164103433389335161480802865516174545192198801894375214704230400000000000000
比值： 0.9986987745912168
斯特灵近似值： 8.237083539630221e+90
真实值： 8247650592082470666723170306785496252186258551345437492922123134388955774976000000000000000
比值： 0.9987187802957616
斯特灵近似值： 5.436580738355171e+92
真实值： 544344939077443064003729240247842752644293064388798874532860126869671081148416000000000000000
比值： 0.9987381801636844
斯特灵近似值： 3.6425777374886635e+94
真实值： 36471110918188685288249859096605464427167635314049524593701628500267962436943872000000000000000
比值： 0.9987570013042998
斯特灵近似值： 2.476998166605485e+96
真实值： 2480035542436830599600990418569171581047399201355367672371710738018221445712183296000000000000000
比值： 0.9987752692332945
斯特灵近似值： 1.709159089950092e+98
真实值： 171122452428141311372468338881272839092270544893520369393648040923257279754140647424000000000000000
比值： 0.9987930079881316
斯特灵近似值： 1.1964320047337557e+100
真实值： 11978571669969891796072783721689098736458938142546425857555362864628009582789845319680000000000000000
比值： 0.9988102402335611
斯特灵近似值： 8.494809664319491e+101
真实值： 850478588567862317521167644239926010288584608120796235886430763388588680378079017697280000000000000000
比值： 0.9988269873582672
斯特灵近似值： 6.1163626615111185e+103
真实值： 61234458376886086861524070385274672740778091784697328983823014963978384987221689274204160000000000000000
比值： 0.9988432695633732
斯特灵近似值： 4.465015533351977e+105
真实值： 4470115461512684340891257138125051110076800700282905015819080092370422104067183317016903680000000000000000
比值： 0.9988591059437687
斯特灵近似值： 3.3041624646270324e+107
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比值： 0.9991500242494132

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可以看出，随着n值的增长，斯特灵近似值和真实的阶乘值之间的比值越来越接近1.我们也有如下推论：