素数的定义

一个大于1的整数，如果他的正因数只有1及他本身，就叫作素数（质数）；否则称其为合数。

素数的定理

定理1（素数筛的原理）

设a是任一大于1的整数，则a的除1外的最小正因数q是质数，并且当a是合数时，满足：
$$q\le \sqrt{a}$$
(通俗的讲：一个数的最小正因数是质数，合数的最小正因数且小于根号a)
证明（反证法）：
假设a的最小正因数q不是素数，则q除了1及本身外至少还有一个正因数s，且$s＜q$。
由$q|a$且$s|q$，可得$s|a$，所以s也是a的一个正因数。
这与q是最小正因数相矛盾，所以假设不成立。
当a是合数时，$a=a_1\ast q$。假设q是最小正因数，若$q＞\sqrt{a}$，则$a_1<\sqrt{a}$，这与q是最小正因数相矛盾。所以假设矛盾。
说明；素数筛可以在$O(n\ast \sqrt{n})$时间内找出区间中的所有素数，无需使用辗转相除法。 具体实现可以看笔者的其他博客。

定理2

若p是质数，a是任一整数，则a能被p整除或p与a互质。
证明：显然成立。

推论

设$a_1,a_2,...,a_n$是n个整数，p是质数，若$p|a_1\ast a_2\ast ...\ast a_n$，则p一定能整除某一个$a_k$。
证明：（反证法）
假设任意$a_k$都不能被p整除，即$(P,a_i)=1,i=1,2,\mathrm{3...}$
所以$(P,a_1{a}_2...a_n)=1$，这与$P|a_1{a}_2...a_n$矛盾。

定理3（算术基本定理）

任意大于1的整数能够被表示为质数的乘积，即任意大于1的整数a，都可以被唯一表示为若干素数的乘积，如下：
$$a=p_1\ast p_2\ast ...\ast p_n,p_1\le p_2\le ...\le p_n$$
其中，$p_1，p_2，...，p_n$为素数。
这个定理的意思是，可以将素数理解为单位元，所有的整数都可以由素数构成的。
证明：采用数学归纳法，这里不赘述。

推论1

任意一个大于1的整数a，能够被唯一的写成
$$a=p_1^{k_1}\ast p_2^{k_2}\ast ...\ast p_n^{k_n},p_1<p_2<...<p_n$$
其中，k_i∈Z。
这个式子的意义是：将质数因子变为严格递增的序列。方便后续表示与计算。
证明：
将定理3的多个连乘的p进行组合就行。

推论2

任意一个大于1的整数a的因子d，也能够被唯一的写成
$$d=p_1^{h_1}\ast p_2^{h_2}\ast ...\ast p_n^{h_n},k_i\ge h_i\ge 0$$
其中，k_i∈Z。
这个式子的意义是：将质数因子也可以进行一般化的表示。
比如100可以表示为$100=2\ast 50=2^2\ast 5^2$
而因子50可以表示为$50=2\ast 5^2$

推论3（非常重要）

设A，B是任意两个正整数，且满足：
$$A=p_1^{a_1}\ast p_2^{a_2}\ast ...\ast p_n^{a_n},a_i\ge 0$$
$$B=p_1^{b_1}\ast p_2^{b_2}\ast ...\ast p_n^{b_n},b_i\ge 0$$
则
$$(a,b)=p_1^{r_1}\ast p_2^{r_2}\ast ...\ast p_n^{r_n}$$
$$[a,b]=p_1^{s_1}\ast p_2^{s_2}\ast ...\ast p_n^{s_n}$$
其中，$r_i=min(a_i,b_i),s_i=max(a_i,b_i)$。
证明：(这里不进行严谨证明，只进行直观证明)
最大公约数一定是形如这种的格式$d=p_1^{h_1}\ast p_2^{h_2}\ast ...\ast p_n^{h_n},k_i\ge h_i\ge 0$。所以需要让$h_i$尽可能的小，同时还要满足d|a，d|b。所以$r_i$只能取最小值。同理，需要让$s_i$尽可能的小，同时还要满足a|[a,b]，b|[a,b]，所以$s_i$只能取两者的最大值，才能实现全局的最小值。

定理4 （质数的个数是无穷的）

质数的个数是无穷的。
证明：（反证法）
假设素数有限，且为$p_1,p_2,...,p_n$。
设存在一个数N，满足$N=p_1\ast p_2\ast ...\ast p_n+1$成立，且由于N>1，所以一定存在一个素因数$p_N$。
若：
（1）$p_N\in p_1,p_2,...,p_n$
已知$p_N|N$，且$p_N|(p_1\ast p_2\ast ...\ast p_n)$，而$N=p_1\ast p_2\ast ...\ast p_n+1$，所以$p_N|(N-p_1\ast p_2\ast ...\ast p_n+1)=p_N|1$，这与素数的定义相矛盾。所以$p_N\notin p_1,p_2,...,p_n$。
（2）$p_N\notin p_1,p_2,...,p_n$
说明有存在其他素数$p_N$不在有限素数中的其他素数，与假设矛盾。
综上，素数的个数有限。

几个猜想

1、孪生素数猜想

存在无穷多个素数P，使得P+2也是素数。
背景： 在欧几里得证明素数的数量无限后，提出了这个猜想，但是目前还没有人实现证明。
说明：
如果想找到一个k连续的合数组。 可以使用下面的方法：$p=(k+1)!+k$。
就可以找到一个间隔为k的合数组$p,p+1,...,p+k-1$。

2、等差素数列猜想（已经被证明正确）

长度为k的素数等差数列，公差能够被小于k的所有素数整除。
背景： 被拉格朗日和华林证明了。

3、费马数猜想（已经被证明错误）

$F_m=2^{2^m}+1$（m=1,2,3,…）是素数。
背景： 费马证明了$F_1$至$F_4$是素数，于是有了这个猜想。由欧拉证明$F_5$不是素数。
于是有了新的猜想：
F_m在m>5之后都是合数。

4、梅森数与双完全数（已经被证明正确）

梅森数：$M_n=2^n-1$
双完全数：因数之和等于2倍的自己的数。比如6，1+2+3+6=12。
双完全数的充要条件：$2^{n-1}{M}_n$