Biot多孔弹性模型的公式推导过程
- 流体连续性方程
- 达西定律
- 流体质量守恒方程
流体的压缩性 β \beta β定义为:为流体密度 ρ f \rho_f ρf 对压力 𝑝 的变化率
β = ∂ ρ f ∂ p \beta=\frac{\partial \rho_f}{\partial p} β=∂p∂ρf
我们关心的是随时间的变化率,因此我们将变量
ρ
f
\rho_f
ρf 和压力 𝑝 都对时间
t
t
t 求导:
∂
ρ
f
∂
t
=
∂
ρ
f
∂
p
∂
p
∂
t
\frac{\partial \rho_f}{\partial t}=\frac{\partial \rho_f}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial t}
∂t∂ρf=∂p∂ρf∂t∂p
则带入 β \beta β得到:
∂ ρ f ∂ t = β ∂ p ∂ t \frac{\partial \rho_f}{\partial t}=\beta \frac{\partial p}{\partial t} ∂t∂ρf=β∂t∂p
考虑孔隙流体的质量守恒,流体连续性方程描述了流体在多孔介质中的流动情况。以下是详细推导过程:
流体连续性方程
在多孔介质中,流体的质量守恒方程可以表示为:
∂
(
n
ρ
f
)
∂
t
+
∇
⋅
(
ρ
f
v
f
)
=
0
\frac{\partial (n \rho_f)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho_f \mathbf{v_f}) = 0
∂t∂(nρf)+∇⋅(ρfvf)=0
其中:
- n n n 是孔隙度。
- ρ f \rho_f ρf是流体密度。
- v f \mathbf{v_f} vf 是流体的平均速度。
为了简化计算,假设流体密度
ρ
f
\rho_f
ρf是常数,即流体是不可压缩的。则方程简化为:
ϕ
∂
ρ
f
∂
t
+
ρ
f
∂
n
∂
t
+
ρ
f
∇
⋅
v
f
=
0
\phi \frac{\partial \rho_f}{\partial t} + \rho_f \frac{\partial n}{\partial t} + \rho_f \nabla \cdot \mathbf{v_f} = 0
ϕ∂t∂ρf+ρf∂t∂n+ρf∇⋅vf=0
ρ
f
∂
ϕ
∂
t
+
ρ
f
∇
⋅
v
f
=
0
\rho_f \frac{\partial \phi}{\partial t} + \rho_f \nabla \cdot \mathbf{v_f} = 0
ρf∂t∂ϕ+ρf∇⋅vf=0
将流体密度 (\rho_f) 提取出来,得:
∂
n
∂
t
+
∇
⋅
v
f
=
0
\frac{\partial n}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{v_f} = 0
∂t∂n+∇⋅vf=0
达西定律
达西定律描述了流体在多孔介质中的流动:
v
f
=
−
k
μ
∇
p
\mathbf{v_f} = -\frac{k}{\mu} \nabla p
vf=−μk∇p
其中:
- k k k是渗透率。
- μ \mu μ 是流体的黏度。
- p p p 是孔隙压力。
将达西定律代入流体连续性方程中:
∂
n
∂
t
−
∇
⋅
(
k
μ
∇
p
)
=
0
\frac{\partial n}{\partial t} - \nabla \cdot \left( \frac{k}{\mu} \nabla p \right) = 0
∂t∂n−∇⋅(μk∇p)=0
流体质量守恒方程
单位体积内流体质量的变化率等于流体密度变化率和孔隙度变化率的和
这一点与多元函数求偏导加和是一致的
n n n为孔隙度, ρ f \rho_f ρf为流体密度,单位体积多孔介质中的流体质量为 n ρ f n\rho_f nρf
则:
∂
(
n
ρ
f
)
∂
t
=
n
∂
ρ
f
∂
t
+
ρ
f
∂
n
∂
t
\frac{\partial (n\rho_f)}{\partial t}=n\frac{\partial \rho_f}{\partial t}+\rho_f\frac{\partial n}{\partial t}
∂t∂(nρf)=n∂t∂ρf+ρf∂t∂n
将 ∂ ρ f ∂ t = β ∂ p ∂ t \frac{\partial \rho_f}{\partial t}=\beta \frac{\partial p}{\partial t} ∂t∂ρf=β∂t∂p带入
得:
∂
(
n
ρ
f
)
∂
t
=
n
β
∂
p
∂
t
+
ρ
f
∂
n
∂
t
\frac{\partial (n\rho_f)}{\partial t}=n\beta\frac{\partial p}{\partial t}+\rho_f\frac{\partial n}{\partial t}
∂t∂(nρf)=nβ∂t∂p+ρf∂t∂n
将达西定律中得
∂
n
∂
t
\frac{\partial n}{\partial t}
∂t∂n带入得:
∂
(
n
ρ
f
)
∂
t
=
n
β
∂
p
∂
t
+
ρ
f
∇
⋅
(
k
μ
∇
p
)
\frac{\partial (n\rho_f)}{\partial t}=n\beta\frac{\partial p}{\partial t}+\rho_f\nabla \cdot \left( \frac{k}{\mu} \nabla p \right)
∂t∂(nρf)=nβ∂t∂p+ρf∇⋅(μk∇p)