前言
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树.一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：它的左右子树都是AVL树，左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1).接下来我们继续学习AVL树底层实现的部分机制.
文章目录
- 前言
- 1.AVL树结构
- 2.AVL树的插入
- ✨左单旋
- ✨右单旋
- ✨右左双旋
- ✨左右双旋
- 3.中序遍历
- 4. AVL树的验证
- 5.验证用例
- 6.结语
1.AVL树结构
//AVL树节点类
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
pair<K, V> _kv;
AVLTreeNode<K, V>* _pLeft;
AVLTreeNode<K, V>* _pRight;
AVLTreeNode<K, V>* _pParent;
int _bf; // balance factor
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_kv(kv)
, _pLeft(nullptr)
, _pRight(nullptr)
, _pParent(nullptr)
, _bf(0)
{}
};
// AVL: 二叉搜索树 + 平衡因子的限制
template<class K,class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K,V> Node;
public:
AVLTree()
: _pRoot(nullptr)
{}
// 在AVL树中插入值为kv的节点
bool Insert(const pair<K, V>& kv);
//中序遍历
void InOrder()
{
_InOrder(_pRoot);
}
//判断是否是平衡树
bool IsBalanceTree()
{
//嵌套一层函数
return _IsBalanceTree(_pRoot);
}
private:
bool _IsBalanceTree(Node* pRoot);
int _Height(Node* pRoot);
void _InOrder(Node* root);
// 右单旋
void RotateR(Node* parent);
// 左单旋
void RotateL(Node* parent);
// 右左双旋
void RotateRL(Node* parent);
// 左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
2.AVL树的插入
AVL树的插入过程可以分为两步：
- 按照二叉搜索树的方式插入新节点
- 调整节点的平衡因子
在插入新节点之后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性。
如下图所示：
pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
- 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可，如上图所示
- 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
此时，pParent的平衡因子也可能有三种情况：0，正负1， 正负2
- 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功，如上图所示；
- 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0（不可能是2，因为这样没插入新节点前该树就已经不平衡了），插入后被更新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新，如下图所示：
AVL树插入新节点90之后，pParent也就是80节点的平衡因子就需要更新为1，继续往上更新，直到60节点的平衡因子被更新为2，说明不符合AVL树的性质，就需要进行旋转来维持平衡。
- 如果更新后pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理，如上图所示
所以对于AVL树插入新节点来说，我们需要更新插入后由于左右子树高度差改变带来的新的平衡因子，然后根据平衡因子是否大于1或小于-1来判断AVL树是否平衡，如果不平衡我们就必须通过旋转来维持平衡，代码如下：
// 在AVL树中插入值为kv的节点
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
//1.先构造新节点
Node* newnode = new Node(kv);
Node* cur = _pRoot;
//2.判断插入位置
if (cur == nullptr)
{
//如果树为空
_pRoot = newnode;
return true;
}
//如果AVL树不为空，找到插入位置
Node* parent = cur->_pParent;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_pLeft;
}
else if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_pRight;
}
//找到相同节点，AVL树不能插入相同节点
else
{
return false;
}
}
//3.插入节点
//先判断是插入左边还是右边
if (parent->_kv.first > kv.first)
{
//插入左边
parent->_pLeft = newnode;
}
else
{
//插入右边
parent->_pRight = newnode;
}
newnode->_pParent = parent;
cur = newnode;
//4.更新平衡因子
while (parent)
{
if (parent->_pLeft == cur)
parent->_bf--;
else
parent->_bf++;
// 更新后检测双亲的平衡因子
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
//平衡因子需要继续往上更新
cur = parent;
parent = parent->_pParent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
//左边高进行右单旋
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
//右边高进行左单旋
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}
else//(parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}
break;
}
else
{
//其他情况，断言报错
assert(false);
}
}
return true;
}
这里要注意AVL树不能插入相同节点
AVL树插入新节点的逻辑结构如上述代码所示，如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：那么我们具体来看看AVL树旋转的实现：
✨左单旋
新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
parent和cur的平衡因子经过旋转之后变为0，维持了AVL树的平衡。
代码如下：
// 左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_pRight;
//将cur的左边给parent的右边，cur的左边再指向parent
parent->_pRight = cur->_pLeft;
cur->_pLeft = parent;
//链接cur与parent的父节点
if (parent->_pParent == nullptr)
{
//如果pParent是根节点
cur->_pParent = nullptr;
_pRoot = cur;
}
else if (parent->_pParent->_pLeft == parent)
parent->_pParent->_pLeft = cur;
else
parent->_pParent->_pRight = cur;
//更新父节点
cur->_pParent = parent->_pParent;
parent->_pParent = cur;
if(parent->_pRight)//判断pParent的右边是否存在
parent->_pRight->_pParent = parent;
//更新平衡因子
parent->_bf = 0;
cur->_bf = 0;
}
✨右单旋
新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋
代码如下：
// 右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_pLeft;
//将cur的右边给pParent的左边，cur的右边再指向pParent
parent->_pLeft = cur->_pRight;
cur->_pRight = parent;
//链接cur与pParent的父节点
if (parent->_pParent == nullptr)
{
//如果pParent是根节点
cur->_pParent = nullptr;
_pRoot = cur;
}
else if (parent->_pParent->_pLeft == parent)
parent->_pParent->_pLeft = cur;
else
parent->_pParent->_pRight = cur;
//更新父节点
cur->_pParent = parent->_pParent;
parent->_pParent = cur;
if (parent->_pLeft)
parent->_pLeft->_pParent = parent;
//更新平衡因子
parent->_bf = 0;
cur->_bf = 0;
}
✨右左双旋
新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋，借助上面实现的右单旋和左单旋即可
如下图所示，较高右子树(以cur节点为根节点的树)的左侧(以child节点为根节点的树），插入节点，注意这里可以插入child的左侧或右侧，只要插入在child的子树上即可，所以可以是下图中的b或c，这里选择b：
前文我们说过只要插入在child的子树上即可，所以可以是上图中的b或c，这里选择b，那么如果是c的话，还是需要进行左右双旋，与选b的区别在于平衡因子的不同，这里可以根据具体选择分析出来，所以在双旋之后记得根据不同的插入位置更新不同的平衡因子。
代码如下：
// 右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_pRight;
Node* child = cur->_pLeft;
//旋转前保存child的平衡因子
int bf = child->_bf;
//cur的左边高，先右旋
RotateR(cur);
//再左旋
RotateL(parent);
//根据不同插入位置更新不同的平衡因子
if (bf == -1)//插入在b
{
cur->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)//插入在c
{
parent->_bf = -1;
}
}
✨左右双旋
新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋，借助上面实现的右单旋和左单旋即可
如下图所示，左右双旋与右左双旋类似，也可以插入在下图中的b或从，旋转方式一样，不影响，就是最后平衡因子需要根据插入的位置更新：
代码如下：
// 左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_pLeft;
Node* child = cur->_pRight;
//旋转前保存child的平衡因子
int bf = child->_bf;
//cur的右边高，先左旋
RotateL(cur);
//再右旋
RotateR(parent);
//根据不同插入位置更新不同的平衡因子
if (bf == -1)//b
{
parent->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)//c
{
cur->_bf = -1;
}
}
小结：
假如以parent为根的子树不平衡，即parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑
- parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为cur
当cur的平衡因子为1时，执行左单旋
当cur的平衡因子为-1时，执行右左双旋 - parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根为cur
当cur的平衡因子为-1是，执行右单旋
当cur的平衡因子为1时，执行左右双旋
旋转完成后，原parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。
3.中序遍历
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树，其中序遍历和我们之前实现过的二叉搜索树一样。
代码如下：
//中序遍历
void InOrder()
{
_InOrder(_pRoot);
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_pLeft);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_InOrder(root->_pRight);
}
4. AVL树的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
- 验证其是否为二叉搜索树：
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树 - 验证其是否为平衡树：
每个节点子树高度差的绝对值不超过1
对于验证是否是平衡树，代码如下：
bool IsBalanceTree()
{
//嵌套一层函数
return _IsBalanceTree(_pRoot);
}
bool _IsBalanceTree(Node* pRoot)
{
// 空树也是AVL树
if (nullptr == pRoot) return true;
// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);
int diff = rightHeight - leftHeight;
// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))
return false;
// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot -
> _pRight);
}
//求树的高度
size_t _Height(Node* pRoot)
{
if (pRoot == nullptr)
return 0;
size_t left = _Height(pRoot->_pLeft);
size_t right = _Height(pRoot->_pRight);
return (left >= right ? left : right) + 1;
}
计算pRoot节点的平衡因子：即计算pRoot左右子树的高度差，我们利用递归实现即可。计算是否为平衡树因为是递归需要传递根节点，但是我们在使用时并不能获取根节点，所以需要嵌套一层函数。
5.验证用例
void TestAVLTree()
{
AVLTree<int, int> t;
int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };//用例1
//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16,14 };//用例2
for (auto e : a)
{
t.Insert({ e, e });
}
cout <<"是否是平衡树："<< t.IsBalanceTree() << endl;
t.InOrder();
}
结果如下：
6.结语
因为AVL树也是二叉搜索树，其他的类似查找节点，析构函数和构造函数都与二叉搜索树类似，对于删除节点，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，最差情况下一直要调整到根节点的位置，大家有兴趣可以自己查找了解一下，以上就是今天所有的内容啦~ 完结撒花 ~🥳🎉🎉
