带死区的PID控制算法

在计算机控制系统中，为了避免控制动作过于频繁，消除因频繁动作所引起的振荡，可采用带死区的PID控制。带死区的PID控制通过引入一个死区，使得在误差较小的范围内不进行控制动作，从而减少控制系统的频繁调整，提高系统的稳定性。

理论基础

传统PID控制算法

传统PID控制器的控制律为：

$$u(t)=K_{p}e(t)+K_i\int e(t)dt+K_d\frac{de(t)}{dt}$$

其中：

• $u(t)$ 是控制输入
• $e(t)=r(t)-y(t)$ 是误差信号
• $K_p$ 是比例增益
• $K_i$ 是积分增益
• $K_d$ 是微分增益

带死区的PID控制算法

带死区的PID控制器通过在误差信号上引入一个死区 $\delta$，使得在误差 $e(t)$ 的绝对值小于死区 $\delta$ 时，控制输入 $u(t)$ 不进行调整。其控制律为：

$$u(t)=\{\begin{array}{ll}{K}_{p}e(t)+K_i\int e(t)dt+K_d\frac{de(t)}{dt}& \text{if }|e(t)|>\delta \\ 0& \text{if }|e(t)|\le \delta \end{array}$$

其中：

• $\delta$ 是死区的阈值

公式推导

带死区的PID控制算法可以通过以下步骤推导得到：

1. 定义误差信号：

$$e(t)=r(t)-y(t)$$

2. 判断误差是否在死区范围内：

$$|e(t)|\le \delta$$

3. 根据误差范围计算控制输入：

$$u(t)=\{\begin{array}{ll}{K}_{p}e(t)+K_i\int e(t)dt+K_d\frac{de(t)}{dt}& \text{if }|e(t)|>\delta \\ 0& \text{if }|e(t)|\le \delta \end{array}$$

Python代码示例

下面是一个实现带死区的PID控制器的Python代码示例。假设我们有一个简单的温度控制系统，通过带死区的PID控制器保持系统温度在期望值。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义系统参数
dt = 0.1  # 时间步长
t = np.arange(0, 20, dt)  # 时间数组
n = len(t)

# 初始化状态变量
temperature = np.zeros(n)  # 系统温度
desired_temperature = np.zeros(n)  # 期望温度
desired_temperature[100:] = 50  # 期望温度从时间t=10s开始为50
external_disturbance = np.sin(t) * 5  # 外界扰动

# 控制器参数
Kp = 2.0  # 比例增益
Ki = 1.0  # 积分增益
Kd = 0.5  # 微分增益
delta = 1.0  # 死区阈值

# 初始化误差变量
e_prev = 0  # 上一时刻的误差
integral = 0  # 误差积分

# 模拟系统
for i in range(1, n):
    # 计算误差
    e = desired_temperature[i] - temperature[i-1]
    
    # 判断误差是否在死区范围内
    if abs(e) > delta:
        # 误差积分
        integral += e * dt
        
        # 误差微分
        derivative = (e - e_prev) / dt
        
        # PID控制器
        u = Kp * e + Ki * integral + Kd * derivative
    else:
        u = 0  # 在死区范围内，控制输入为0
    
    # 更新系统温度
    temperature[i] = temperature[i-1] + (u + external_disturbance[i]) * dt
    
    # 更新上一时刻的误差
    e_prev = e

# 绘制结果
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(t, desired_temperature, label='Desired Temperature')
plt.plot(t, temperature, label='Actual Temperature')
plt.plot(t, external_disturbance, label='External Disturbance')
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature')
plt.legend()
plt.title('Dead Zone PID Control for Temperature System')
plt.grid(True)
plt.show()

代码解释

1. 系统参数和时间数组：定义了时间步长 dt 和时间数组 t，用来模拟系统在一段时间内的行为。
2. 状态变量初始化：初始化了系统温度 temperature、期望温度 desired_temperature 和外界扰动 external_disturbance。
3. 控制器参数：定义了带死区的PID控制器的比例增益 Kp、积分增益 Ki、微分增益 Kd 和死区阈值 delta。
4. 误差变量初始化：初始化了上一时刻的误差 e_prev 和误差积分 integral。
5. 系统模拟：通过迭代计算，在每个时间步长内根据带死区的PID控制律计算控制输入，并更新系统温度。
6. 结果绘制：使用 matplotlib 绘制系统温度、期望温度和外界扰动的变化曲线。

结论

带死区的PID控制器通过在误差信号上引入一个死区，有效减少了控制系统的频繁调整，避免了因频繁动作所引起的系统振荡，从而提高了系统的稳定性。在实际应用中，带死区的PID控制器适用于控制量需要频繁调整的场合，能够显著改善系统的动态特性。结合Python代码示例，可以更直观地理解带死区的PID控制器的基本原理和实现方法。