机器学习 | 分类算法原理—

机器学习 | 分类算法原理——逻辑回归

news2024/11/19 22:42:27

Hi，大家好，我是半亩花海。接着上次的线性可分继续更新《白话机器学习的数学》这本书的学习笔记，在此分享逻辑回归这一分类算法原理。本章的分类算法原理基于《基于图像大小进行分类》项目，欢迎大家交流学习！

一、逻辑回归概述

二、案例分析

1. sigmoid 函数

2. 决策边界

一、逻辑回归概述

逻辑回归（Logistic Regression）也称作 Logistic 回归分析，是一种广义的线性回归分析模型，属于机器学习中的监督学习。它实际上主要是用来解决二分类问题。通过给定的 $n$ 组数据（训练集）来训练模型，并在训练结束后对给定的一组或多组数据（测试集）进行分类，其中每一组数据都是由 $p$ 个指标构成。

二、案例分析

我们还是用之前博客中的分类案例，即按横向和纵向对图像进行分类的例子。为了处理简便，这里设横向的值为 1、纵向的值为 0。

1. sigmoid 函数

我们在学习回归的时候，定义过一个带参数的函数：

$f_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}$

这是通过最速下降法或随机梯度下降法来学习参数 $\theta$ 的表达式。使用这个 $\theta$ 能够求出对未知数据 $x$ 的输出值。

这里的思路是一样的。我们需要能够将未知数据分类为某个类别的函数 $f_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x})$ 。这是和感知机的判别函数 $f_{\boldsymbol{\omega}}(\boldsymbol{x})$ 类似的东西，使用与回归时同样的参数 $\theta$ ，函数的形式如下：

$f_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x})=\frac{1}{1+\exp \left(-\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}\right)}$

式中， $\exp$ 的全称是 exponential，即指数函数。 $\exp(x)$ 与 $e^{x}$ 含义相同，只是写法不同。 $e$ 是自然常数，具体的值为 2.7182......（ps： $\exp \left(-\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}\right)$ 可以换成 $\mathrm{e}^{-\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}}$ 这样的写法，指数部分如果过于复杂，上标的字号太小会很难看清，所以这时候使用 $\exp$ 写法的情况比较多）。

上述函数的名字叫 sigmoid 函数，设 $\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}$ 为横轴， $f_\theta(x)$ 为纵轴，那么它的图形如下所示。

通过观察这个函数，我们会发现来个特征：

当 $\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} = 0$ 时， $f_\theta(x)=0.5$
$0 < f_\theta(x) < 1$

刚才说到我们要用概率来考虑分类。因为 sigmoid 函数的取值范围是 $0 < f_\theta(x) < 1$ ，所以它可以作为概率来使用。

2. 决策边界

刚才说到把上述表达式 $f_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x})$ 当作概率来使用，那么接下来我们就把未知数据 $\boldsymbol{x}$ 是横向图像的概率作为 $f_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x})$ ，其表达式如下。

$P(y=1 \mid \boldsymbol{x})=f_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x})$

上述式子叫条件概率。这是在给出 $\boldsymbol{x}$ 数据时 $y = 1$ ，即图像为横向的概率。假如 $f_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x})$ 的计算结果是 0.8，意思是图像为横向的概率为 80%、纵向的概率为 20%，这种状态可以分类为横向。

实际上，我们应该是以 0.5 为阈值（注意一下这个阈值 0.5，在 sigmoid 函数图像中也出现过），然后把 $f_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x})$ 的结果与它相比较，从而分类横向或纵向。

$y= \begin{cases}1 & \left(f_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}) \geqslant 0.5\right) \\ 0 & \left(f_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x})<0.5\right)\end{cases}$

当 $\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} = 0$ 时， $f_\theta(x)=0.5$ 。从图中还可以看出，在 $f_\theta(x) \geq 0.5$ 时， $\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} \geq 0$ ；反过来，在 $f_\theta(x) < 0.5$ 时， $\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} < 0$ 。

我们可以把上述表达式 $f_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x})$ 改写为以下这种形式。

$y= \begin{cases}1 & \left(\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} \geqslant 0\right) \\ 0 & \left(\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}<0\right)\end{cases}$

下面我们像学习感知机时那样，设横轴为图像的宽（ $x_1$ ）、纵轴为图像的高（ $x_2$ ），并且画出图来考虑。然后把训练数据都展示在图上，像学习回归时那样，先随便确定 $\theta$ 再具体地去考虑。

比如当 $\theta$ 是如下这样的向量时，我们来画一下 $\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} \geq 0$ 的图像。

$\boldsymbol{\theta}=\left[\begin{array}{l} \theta_0 \\ \theta_1 \\ \theta_2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} -100 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ x_1 \\ x_2 \end{array}\right]$

先代入数据，把表达式变为容易理解的形式。如此看来，下面这个不等式表示的范围也就是图像被分类为横向（ $\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} \geq 0$ ， $y = 1$ ）的范围。

$\begin{aligned} & \boldsymbol{\theta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=-100 \cdot 1+2 x_1+x_2 \geqslant 0 \\ & x_2 \geqslant-2 x_1+100 \end{aligned}$

我们还可以试着画出不等式所对应的图，这样会更加清晰直观。

同理，分类为纵向的范围即为另一侧，所对应的图如下。

也就是说，我们将 $\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} = 0$ 这条直线作为边界线，就可以把这条线两侧的数据分类为横向和纵向了，这样用于数据分类的直线称为决策边界。

实际项目应用时这个决策边界似乎不能一开始就能正确地分类图像，实际效果如上图所示，通过前几节的学习，可以清晰地知道这是因为：和回归的时候一样，我们一开始决定参数时太随意了。为了求得正确的参数 $\theta$ 而定义目标函数，再对目标函数进行微分，然后求参数的更新表达式，这种算法就称为逻辑回归。

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