卷积的意义及其派生（一）

news2024/12/31 4:34:03

1.卷积的意义

1.1从LTI的角度看

卷积最开始其实是信号处理中用来描述线性移不变系统Linear time-invariant systems的。线性，表明可以叠加，信号可以拆分成脉冲的响应；时不变，指信号不随着时间的迁移改变，意味着能量守恒。

那么，由线性时不变的性质，可以把输入信号拆成一个个的脉冲信号：

然后再由时不变的性质，每个冲激处的响应都是一样的：

那么当求t3时刻的输出信号时，利用线性的性质，输出值就是三个响应（上图红色点）的叠加。

这时再看表达式就清楚一些了：

1. x[k]的本质是权重系数，是输入信号拆分后每个位置的冲激；

2. 系统响应h原本在t=0的位置，被冲激向右移动距离k到达一个新的位置，然后取此时n位置的响应h[n-k]；

3.响应和在x[k]下加权求和，得到输出信号。

4.虽然公式中是对正负无穷的冲激进行求和，但是t之后的响应其实不会对t时刻造成影响的。

5.时域的卷积等效于频域相乘，所以卷积也被称作滤波。

1.2从积分的角度看

既然是加权求和，在连续的情况下就是积分，积分的对象是两个函数的乘积。x[k]保持不变，h[k]先进行左右对称翻转，得到h[-k]，然后再右移k，得到h[n-k]。参考维基百科，有下面的图示:

这样的解释从几何上看更加直观地表示公式本身，但其实也更难以理解为什么要“翻转”。但好处是可以直观地对比与互相关的不同：

互相关没有翻转，所以当卷积符号右边的函数是对称函数时，卷积等价于互相关。

2. 二维卷积

对大部分人来说，图像中的二维卷积是更为熟悉的。它其实和一维卷积一样，仍然是翻转，滑动和加权。只不过一般性的卷积都是对称的，所以就等价于求相关。这也是为什么之前说到的拉普拉斯算子可以求斑点，因为拉普拉斯算子本身的响应就是一个墨西哥草帽的样式。

结合LTI的性质，二维卷积的滤波器就是一个冲激的响应，这个响应是平移不变的，所以才需要那么多滤波器，每个滤波器表示一种响应/特征提取，CNN才“变宽”。

在torch中一般使用torch.nn.Conv2d实现卷积。但这个函数只指定了输入输出的通道数，滤波器的尺寸，步长，填充方式等。输出的尺寸需要下面公式来计算：

$o=1+\frac{i+2p-k}{s}$

上式中的1表示卷积核在初始的左上角位置一定会对应一个输出，第二项表示每移动一次对应一个输出。

填充的方式有Arbitrary padding，Half padding，Full padding。

No Padding

Half(Same) Padding

Full Padding

tf的padding有两个值，一个是SAME，一个是VALID

valid其实就是不填充？

Half padding第一次卷积的卷积核中心对应填充前的左上角，填充的范围差不多是卷积核尺寸的一半；保证输入和输出的feature map尺寸相同，p=⌊k/2⌋。

Full padding填充前的左上角则对应卷积核的左下角，填充范围差不多是整个卷积核。如果padding再多，原始的信息没有参与计算，所以这种padding已经是上限了k-1了，所以叫full。

反卷积通俗详细解析与nn.ConvTranspose2d重要参数解释_iioSnail的博客-CSDN博客

卷积的参数量：

3. one by one 卷积

最早出现在NIN文章中，GoogleNet中的Inception得到了使用，作用主要是降维/升维。和普通卷积核的区别就是滤波器大小是1x1，这样每个像素的卷积结果就与其邻域无关，即没有考虑局部信息之间的关系。

既然在空域上相当于对图像整体乘一个因子，那么它是怎么起作用的呢。对图像灰度值的缩放确实没什么收益，收益发生在图像是多通道时。当图像为多通道时，feature map也有相同的数目，这时1x1卷积就相当于不同feature map的线性组合。而根据组合前后的数目相对大小，就可以起到降维升维的作用，实现跨通道的信息整合（相当于一个多层感知机MLP）。

知道了1x1卷积的含义，就可以总结其作用：1.改变维度；2.跨通道信息交互。3.增加非线性

1x1卷积除了以上的优点，还具有计算量小的特点。计算量小不仅仅是因为其尺寸小，更是因为其不会因为计算机“行先序”的特点造成内存访问混乱的问题。虽然卷积很好理解，但是在实际计算中，卷积的感受野在内存中的位置不是连续的，为了解决这个问题，一般使用空间换时间的方法，即使用im2col操作，将特征图和卷积核重新排列，使得卷积操作可以直接使用GEMM矩阵相乘实现。而1x1卷积在Im2col前后的内存存放是相同的。

4. 空洞卷积

Dilated/Atrous Convolution(中文叫做空洞卷积或者膨胀卷积) 或者是 Convolution with holes

普通卷积	空洞卷积

空洞卷积首要的作用就是增大感受野。但其实增加感受野的方法至少还有其他两种。一种是VGG中的发现：2个3x3的卷积核的级联相当于5x5的感受野，感受野与层数的关系是(kernel-1)*layer+1，但级联太多就导致网络太深。还有一种是先pooling再卷积，但池化会带来信息的丢失，导致太小的目标信息无法重建。

空洞卷积还有一个特点就是可以保持特征图尺寸不变，这在语义分割中是比较有用的。

dilated conv的问题之一是The Gridding Effect。原因是连续性被跳跃性地取点破坏，感受野是大了，但是对应在第一层上的采样点更加离散了：