考研中常见的几种换元法积分计算题

(1)被积式仅包含一个根式：根号下为有 $a$ 和 $x$ 的平方和/平方差

此种类型的积分题型，可以通过构造单个锐角大小为 $t$ 的直角三角形，利用勾股定理和三角函数进行代换。

平方和的情况

• 形如

$$\int R(x,\sqrt{x^2+a^2})dx$$

平方差的情况

• 形如

$$\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})dx$$

• 或

$$\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})dx$$

(2)被积式包含两个根指数不一样的根式：根号下为同一个含 $x$ 的线性函数

• 形如
  $$\int R(x,\sqrt[n]{ax+b},\sqrt[m]{ax+b})dx$$

代换中令
$$t=\sqrt[nm]{ax+b}$$
则 $x$ 可写成含 $t$ 的表达式
$$x=\frac{t^{nm}-b}{a-c{t}^2}$$
代换后，积分式中的 $dx$​ 可以写成
$$dx=\frac{2}{1+t^2}dt$$

(3)被积式仅包含一个根式：根号下为两个含有 $x$ 的线性函数相除

• 形如

$$\int R(x,\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}})dx$$

代换中令
$$t=\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$$
则 $x$ 可写成含 $t$ 的表达式
$$x=\frac{d{t}^2-b}{a-c{t}^2}$$
代换后，积分式中的 $dx$ 可以写成
$$dx=\frac{2(ad-bc)t}{(a-c{t}^2{)}^2}dt，其中ad-bc\ne 0$$

(4)含三角函数 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的积分式

• 形如
  $$\int R(\sin x,\cos x)dx$$

代换中令
$$t=\tan \frac{x}{2}$$

则 $\sin x、\cos x$ 均可写成含 $t$ 的表达式
$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$$

$$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$

代换后，积分式中的 $dx$ 可以写成
$$dx=\frac{2}{1+t^2}dt$$