堆是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。
堆总是满足下列性质：
- 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
- 堆总是一棵完全二叉树。
常见的堆有二叉堆、斐波那契堆等。
堆是非线性数据结构，相当于一维数组，有两个直接后继。
堆的定义如下：
n 个元素的序列 {k1,k2,⋯,ki,⋯,kn}，当且仅当满足下关系的其中之一时，称之为堆：
- 对任意i=1,2,3,4,⋯,n/2，满足 ki≤k2×i,ki≤k2×i+1。
- 对任意 i=1,2,3,4,⋯,n/2，满足 ki≥k2×i,ki≥k2×i+1。
满足第一种条件时，我们称堆为小根堆；满足第二种条件时，我们称堆为大根堆。
左侧为小根堆，右侧为大根堆。
若将和此次序列对应的一维数组（即以一维数组作此序列的存储结构）看成是一个完全二叉树，则堆的含义表明，完全二叉树中所有非终端结点的值均不大于（或不小于）其左、右孩子结点的值。
由此，若序列 k1,k2,⋯,kn 是堆，则堆顶元素（或完全二叉树的根）必为序列中n个元素的最小值（或最大值）。
下面我们来讲一下堆的插入、弹出操作（了解）。
向堆中插入一个新的元素时，其实就是在数组最末尾插入新的结点，然后开始自下而上的调整结点关系。时间复杂度：O(logn)。
void push(int A[], int i, int &n) {
n++; // 调整大小
A[n] = i; // 放进堆的最后
int p = n;
while (p > 1 && A[p / 2] > A[p]) {// 调整，如果不满足堆的性质，交换父节点和当前节点。
swap(A[p / 2], A[p]);
p /= 2;
}
}删除堆顶元素，把堆存储的最后结点填在根节点处，再自上而下的调整结点关系。
时间复杂度：O(logn)
void pop(int A[], int &n) {
int res = A[1]; // 记录堆顶元素
A[1] = A[n]; // 把最后一个元素替换到堆顶
n--; // 调整大小，此时原来的最后一位虽然有值，但是不会在用了
int p = 1, t;
while (p * 2 <= n) { // 调整
if (p * 2 + 1 > n || A[p * 2] <= A[p * 2 + 1]) { // 找到左右两个孩子中较小者
t = p * 2;
} else {
t = p * 2 +1;
}
if (A[p] > A[t]) { // 如果不满足堆的性质就交换
swap(A[p], A[t]);
p = t;
} else { //否则就调整完成了
break;
}
}
}
