【C++ —— AVL树】

news2024/11/15 20:38:25

C++ —— AVL树

  • AVL树的概念
  • AVL树节点的定义
  • AVL树的插入
    • 向上调整
    • 旋转
      • 左单旋
      • 右单旋
      • 左右双旋
      • 右左双旋
    • AVL树的高度
    • AVL树的验证
    • 总结：
    • 代码

AVL树的概念

 二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法： 当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保 证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整) 即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

AVL树本质上是一颗二叉查找树，但是它又具有以下特点：

  1. 它的左右子树都是AVL树
  2. 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1 即(-1 / 0 / 1)。

在AVL树中，任何节点的两个子树的高度最大差别为 1 ，所以它也被称为平衡二叉树.

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 o ( l o g 2 n ) o(log_2 n) o(log2​n)，搜素时间复杂度o( l o g 2 n log_2 n log2​n)。

在这里插入图片描述

本文规定：
平衡因子时采用公式：平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度

AVL树节点的定义

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;

	int _bf;	//存储当前节点的平衡因子

	//构造函数
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};

这里使用了pair来存储节点的值，_bf表示改节点的平衡因子。

AVL树的插入

 AVL树的插入步骤大致分为下面两种

  1. 找到准备插入节点的位置
  2. 更新节点的平衡因子
  3. 做出相应的调整

看下面几个实例：

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

因为新插入的节点会影响到树原本的平衡，所以每次插入都得更新节点的平衡因子，平衡因子的变化有以下几种：

  1. 首先按照搜索树的规则插入
  2. 更新插入节点的祖先节点的平衡因子
    • 插入父亲的左边，父亲平衡因子 - -
    • 插入父亲的右边，父亲平衡因子 + +
  3. 根据父亲的平衡因子分以下三种调整：
    • 父亲平衡因子是 0 ， 父亲所在子树的高度不变，稳定，不需要向上更新。
    • 父亲平衡因子是 1 / -1 ，父亲所在子树的高度变了，继续向上更新直到稳定。
    • 父亲平衡因子是 2 / -2 ，父亲所在子树已经不平衡了，需要旋转处理。

在这里插入图片描述

向上调整

while (parent)
	{
		if (cur == parent->_left)
		{
			parent->_bf--;
		}
		else
		{
			parent->_bf++;
		}

		if (parent->_bf == 0)	
		//已经平衡，无需调整，结束。
		{
			break;
		}
		
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)	
		// 0 -> 1 / -1		需要线上调整
		{
			cur = parent;
			parent = cur->_parent;
		}
		
		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)		
		//1 / -1   ->   2  -2   需要旋转
		{
			//旋转
		}
	}

旋转

AVL树的旋转分为两种：单旋 和 双旋

其中单旋转又分为：右单旋(RotateR) 和 左单旋(RotateL)
其中双旋转又分为：右左双旋(RotateRL) 和 左右双旋(RotateLR)

为什么会有多旋呢？

因为有些情况单旋无法解决，不得不选择双旋，具体情况下文将继续讨论。

左单旋

假设我们有下图AVL树：
在这里插入图片描述
现在需要插入新节点15，插入后如图：
在这里插入图片描述
但因为此时节点13的平衡因子为2，不稳定，需要旋转处理，如下图：
在这里插入图片描述
由结果可知，将节点13进行左旋转，让节点13的父亲变为节点14，节点14的左孩子变为节点13，节点14的父亲变为节点12，即可达到平衡。
动图演示：
在这里插入图片描述

代码：

void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* SubR = parent->_right;
		Node* SubRL = SubR->_left;

		parent->_right = SubRL;
		if (SubRL)
		{
			SubRL->_parent = parent;
		}

		Node* ppNode = parent->_parent;

		SubR->_left = parent;
		parent->_parent = SubR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = SubR;
			SubR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = SubR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = SubR;
			}
			SubR->_parent = ppNode;
		}
		parent->_bf = SubR->_bf = 0;
	}

右单旋

假设我们有下图AVL树：
在这里插入图片描述
现在需要插入新节点3，插入后如图：
在这里插入图片描述
但因为此时节点5的平衡因子为**-2**，不稳定，需要旋转处理，如下图：
在这里插入图片描述
由结果可知，将节点5进行右旋转，让节点5的父亲变为节点4，节点4的右孩子变为节点5，节点4的父亲变为节点10，即可达到平衡。
动图演示：
在这里插入图片描述

void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* SubL = parent->_left;
		Node* SubLR = SubL->_right;

		parent->_left = SubLR;
		if (SubLR)
		{
			SubLR->_parent = parent;
		}
	
		Node* ppNode = parent->_parent;

		SubL->_right = parent;
		parent->_parent = SubL;


		if (parent == _root)
		{
			_root = SubL;
			SubL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = SubL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = SubL;
			}
			SubL->_parent = ppNode;
		}
		parent->_bf = SubL->_bf = 0;
	}

左右双旋

假设我们有下图AVL树：

在这里插入图片描述
现在需要插入新节点7，插入后如图：
在这里插入图片描述

但因为此时节点10的平衡因子为 -2 节点4的平衡因子是1 ，不稳定，需要先进行左旋处理，如下图：
在这里插入图片描述
左旋完成后，此时节点10的平衡因子仍为 -2 不稳定，再进行右单旋，如下图：
在这里插入图片描述
由结果可知，经过节点4的左旋处理，再经过节点10的右旋处理，最终平衡。
动图演示：
在这里插入图片描述

由上述的上述调整代码可知，因为节点10的平衡因子是-2，所以在进行左右双旋时，节点10是parent，我们定义 节点5为SubL，节点4为SubLR。分别对SubL和parent进行左单旋和右单旋。

但是上述是吧新添加的节点插入到了5的右边，实际上共有下面三中情况可以引起树的双旋转：

1. 插入在较高左子树的右侧的左边
2. 插入在较高左子树的右侧的右边
3. 直接当作较高左子树的右边

插入在较高左子树的右侧的左边：
在这里插入图片描述

2. 插入在较高左子树的右侧的右边
在这里插入图片描述

3. 直接当作较高左子树的右边
在这里插入图片描述

所以由上面三种情况 ，我们可以总结出最终的平衡因子调整规则：

  • 当 subLR = 0 时：调整为 subLR = 0 ，subL = 0 ，parent= 0
  • 当 subLR =-1 时：调整为 subLR =0 ，subL = 0 ，parent = 1
  • 当 subLR = 1 时：调整为 subLR = 0 ，subL =-1，parent = 0

代码：

void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* SubL = parent->_left;
		Node* SubLR = SubL->_right;

		int bf = SubLR->_bf;

		RotateL(SubL);x
		RotateR(parent);

		if (bf == -1)
		{
			SubLR->_bf = 0;
			SubL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			SubLR->_bf = 0;
			SubL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			SubLR->_bf = 0;
			SubL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

右左双旋

由左右双旋的推理我们可以得出： 当将新添加的节点插入到较高右子树的左侧使需要右左双旋。

具体分为三种情况：

1. 插入在较高右子树的左侧的右边
2. 插入在较高右子树的左侧的左边
3. 直接当作较高右子树的左边

1. 插入在较高右子树的左侧的右边
在这里插入图片描述
2. 插入在较高右子树的左侧的左边
在这里插入图片描述
3. 直接当作较高右子树的左边
在这里插入图片描述
代码：

void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* SubR = parent->_right;
		Node* SubRL = SubR->_left;

		int bf = SubRL->_bf;

		RotateR(SubR);
		RotateL(parent);

		SubRL->_bf = 0;
		if (bf == 1)
		{
			SubRL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
			SubR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			SubRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			SubR->_bf = 1;
		}
		else
		{
			SubRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			SubR->_bf = 0;
		}
	}

AVL树的高度

int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;
	}

AVL树的验证

bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return true;

		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);
		// 不平衡
		if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2)
		{
			cout << root->_kv.first << endl;
			return false;
		}

		// 顺便检查一下平衡因子是否正确
		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << endl;
			return false;
		}

		return _IsBalance(root->_left)
			&& _IsBalance(root->_right);
	}

总结：

在这里插入图片描述

代码

#pragma once
#include <assert.h>
#include <vector>
#include <iostream>

using namespace std;
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;

	int _bf;	//存储当前节点的平衡因子

	//构造函数
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public :
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (kv.first > cur->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (kv.first < cur->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);

		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;


		//更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}

			if (parent->_bf == 0)	//已经平衡，无需调整，结束。
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)	// 0 -> 1 / -1		需要线上调整
			{
				cur = parent;
				parent = cur->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)		//1 / -1   ->   2  -2
			{
				//当前树已经出现了问题，需要旋转
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				break;
			}
			else
			{
				//不会出现的情况
				assert(false);
			}
		}

		return true;
	}
	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (key > cur->_kv.first)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (key < cur->_kv.first)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* SubL = parent->_left;
		Node* SubLR = SubL->_right;

		parent->_left = SubLR;
		if (SubLR)
		{
			SubLR->_parent = parent;
		}
	
		Node* ppNode = parent->_parent;

		SubL->_right = parent;
		parent->_parent = SubL;


		if (parent == _root)
		{
			_root = SubL;
			SubL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = SubL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = SubL;
			}
			SubL->_parent = ppNode;
		}
		parent->_bf = SubL->_bf = 0;
	}

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* SubR = parent->_right;
		Node* SubRL = SubR->_left;

		parent->_right = SubRL;
		if (SubRL)
		{
			SubRL->_parent = parent;
		}

		Node* ppNode = parent->_parent;

		SubR->_left = parent;
		parent->_parent = SubR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = SubR;
			SubR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = SubR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = SubR;
			}
			SubR->_parent = ppNode;
		}
		parent->_bf = SubR->_bf = 0;
	}

	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* SubR = parent->_right;
		Node* SubRL = SubR->_left;

		int bf = SubRL->_bf;

		RotateR(SubR);
		RotateL(parent);

		SubRL->_bf = 0;
		if (bf == 1)
		{
			SubRL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
			SubR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			SubRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			SubR->_bf = 1;
		}
		else
		{
			SubRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			SubR->_bf = 0;
		}
	}

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* SubL = parent->_left;
		Node* SubLR = SubL->_right;

		int bf = SubLR->_bf;

		RotateL(SubL);x
		RotateR(parent);

		if (bf == -1)
		{
			SubLR->_bf = 0;
			SubL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			SubLR->_bf = 0;
			SubL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			SubLR->_bf = 0;
			SubL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance(_root);
	}

	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

	int Size()
	{
		return _Size(_root);
	}


	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

private:

	int _Size(Node* root)
	{
		return root == nullptr ? 0 : _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
	}

	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;
	}
		
	bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return true;

		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);
		// 不平衡
		if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2)
		{
			cout << root->_kv.first << endl;
			return false;
		}

		// 顺便检查一下平衡因子是否正确
		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << endl;
			return false;
		}

		return _IsBalance(root->_left)
			&& _IsBalance(root->_right);
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}
	Node* _root = nullptr;
};

void TestAVLTree1()
{
	//int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	AVLTree<int, int> t1;
	for (auto e : a)
	{
		/*if (e == 4)
		{
			int i = 0;
		}*/

		// 1、先看是插入谁导致出现的问题
		// 2、打条件断点，画出插入前的树
		// 3、单步跟踪，对比图一一分析细节原因
		t1.Insert({ e,e });

		cout << "Insert:" << e << "->" << t1.IsBalance() << endl;
	}

	t1.InOrder();

	cout << t1.IsBalance() << endl;
}


void TestAVLTree2()
{
	const int N = 100000;
	vector<int> v;
	v.reserve(N);
	srand(time(0));

	for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		v.push_back(rand() + i);
		//cout << v.back() << endl;
	}

	size_t begin2 = clock();
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : v)
	{
		t.Insert(make_pair(e, e));
		//cout << "Insert:" << e << "->" << t.IsBalance() << endl;
	}
	size_t end2 = clock();

	cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;
	//cout << t.IsBalance() << endl;

	cout << "Height:" << t.Height() << endl;
	cout << "Size:" << t.Size() << endl;

	size_t begin1 = clock();
	// 确定在的值
	for (auto e : v)
	{
		t.Find(e);
	}

	// 随机值
	/*for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		t.Find((rand() + i));
	}*/

	size_t end1 = clock();

	cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl;
}

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Dhtmlx Gantt教程：创建交互式甘特图的完整指南

在现代的项目管理中&#xff0c;时间是一种宝贵的资源&#xff0c;而甘特图则是一把解锁项目进度的魔法钥匙&#xff0c;想象一下&#xff0c;您可以在一个直观而动态的时间轴上&#xff0c;清晰地看到项目的每一个任务如何交织在一起&#xff0c;如何随着时间的推移展开&#…
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temu卖家中心入口登入在哪里，跨境电商temu卖家中心入口登入

temu卖家中心入口登入在哪里，跨境电商temu卖家中心入口登入

在跨境电商的浪潮中&#xff0c;拼多多推出的Temu平台以其独特的商业模式和优惠政策&#xff0c;吸引了众多卖家的目光。对于想要入驻Temu平台的商家而言&#xff0c;找到正确的卖家中心入口并成功登录&#xff0c;是开启跨境电商之旅的第一步。那么&#xff0c;Temu卖家中心入…
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QGC二次开发入门教程（一）：课程大纲

QGC二次开发入门教程（一）：课程大纲

文章目录 前言一、课程大纲二、修改软件名称三、修改软件图标四、官方QGC中文版BUG修复五、汉化六、修改商标七、添加信号-槽1、添加文件到QGC工程2、添加界面3、QML和C交互4、信号与槽5、测试 八、添加QML和C交互九、MAVLINK的解析与发送十、换地图十一、添加自定义mavlink消息…
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3. 手势识别（LeNet、Vgg16、ResNet50）

3. 手势识别（LeNet、Vgg16、ResNet50）

手势识别 Show me your code1. 模型 model.py2. LeNet 实现手势识别&#xff08;详细&#xff09;2.1 数据打包2.2 搭建模型2.3 训练模型2.4 结果分析2.5 推理过程 3. Vgg16 手势识别4. ResNet50 手势识别 Show me your code 1. 模型 model.py import torch from torch impor…
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基于单片机的智能台灯设计

基于单片机的智能台灯设计

摘 要 &#xff1a; 随着电子产品智能化的发展 &#xff0c; 生活中人们使用的照明工具也逐渐智能化 &#xff0c; 功能也越来越丰富 。 本文介绍了使用单片机进行可调光台灯系统的设计。 通过控制单片机输出高低电平的持续时间 &#xff0c; 从而改变 PWM 的占空比 &#…
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el-tree树添加向下移动按钮，前端界面调整顺序

el-tree树添加向下移动按钮，前端界面调整顺序

需求&#xff1a;树上添加向下按钮&#xff0c;再不调用接口的情况下&#xff0c;调整树的顺序结构 遇到的问题&#xff1a;第一次点击更新的&#xff0c;数据和视图是调整好的&#xff0c;再次点击页面调整顺序&#xff0c;只有数据被调整了&#xff0c;视图没有发生改变。 &…
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【音视频之SDL2】bmp图片与绘制bmp

【音视频之SDL2】bmp图片与绘制bmp

文章目录 前言BMP是什么SDL2绘制BMP的原理SDL2绘制BMP的流程SDL_LoadBMP作用函数原型参数返回值示例代码 SDL_BlitSurface作用函数原型参数返回值 示例代码效果展示总结 前言 在现代多媒体应用中&#xff0c;图像的处理和显示是非常重要的一部分。无论是在游戏开发还是在视频处…
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Qt SQLite数据库编程学习总结

Qt SQLite数据库编程学习总结

到此为止&#xff0c;就使用Qt进行SQLite数据库的操作&#xff0c;做一次总结 1. Qt中数据库操作的相关概念和类 Qt 数据库编程相关基本概念https://blog.csdn.net/castlooo/article/details/140497177 2.表的只读查询--QSqlQueryModel QSqlQueryModel单表查询的使用总结htt…
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Nuxt.js 环境变量配置与使用

Nuxt.js 环境变量配置与使用

title: Nuxt.js 环境变量配置与使用 date: 2024/7/25 updated: 2024/7/25 author: cmdragon excerpt: 摘要&#xff1a;“该文探讨了Nuxt.js框架下环境变量配置的详细过程&#xff0c;涉及.env文件配置、运行时访问、安全性考量、在不同场景下的实践&#xff08;如Vue应用、…
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