目录
一、【模板】一维前缀和
1.题目链接：DP34【模板】前缀和
2.题目描述：
3.解法（前缀和）
🍃算法思路：
🍃算法代码：
二、【模板】二维前缀和
1.题目链接：DP35【模板】二维前缀和
2.题目描述：
3.解法（前缀和）
🍃算法思路：
🍃算法代码：
三、寻找数组的中心下标
1.题目链接：724. 寻找数组的中心下标
2.题目描述：
3.解法（前缀和）
🍒算法思路：
🍒算法代码：
四、除自身以外数组的乘积
1.题目链接：238. 除自身以外数组的乘积
2.题目描述：
3.解法（前缀和）
🍒算法思路：
🍒算法代码：
一、【模板】一维前缀和
1.题目链接：DP34【模板】前缀和
2.题目描述：
给定一个长度为n的数组𝑎1,𝑎2,....𝑎𝑛。
接下来有q次查询, 每次查询有两个参数l, r。
对于每个询问, 请输出𝑎𝑙+𝑎𝑙+1+....+𝑎𝑟。
输入描述：
第一行包含两个整数n和q.
第二行包含n个整数, 表示𝑎1,𝑎2,....𝑎𝑛。
接下来q行,每行包含两个整数 l和r.
1≤𝑛,𝑞≤105
−109≤𝑎[𝑖]≤109
1≤𝑙≤𝑟≤𝑛输出描述：
输出q行,每行代表一次查询的结果.
示例 1:
输入：
3 2 1 2 4 1 2 2 3输出：
3 6
3.解法（前缀和）
🍃算法思路：
a. 先预处理出来一个「前缀和」数组：
用 dp[i] 表示： [1, i] 区间内所有元素的和，那么 dp[i - 1] 里面存的就是 [1, i - 1] 区间内所有元素的和，可得递推公式： dp[i] = dp[i - 1] + arr[i]。
b. 使用前缀和数组，「快速」求出「某⼀个区间内」所有元素的和：
当询问的区间是 [l, r] 时：区间内所有元素的和为： dp[r] - dp[l - 1] 。
🍃算法代码：
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main()
{
// 1.读入数据
int n = 0, q = 0;
cin >> n >> q;
vector<int> arr(n + 1);
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> arr[i];
}
// 2.预处理前缀和数组
vector<long long> dp(n + 1);// 防止溢出
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
dp[i] = dp[i - 1] + arr[i];
}
//3.使用前缀和数组
int l = 0, r = 0;
while(q--)
{
cin >> l >> r;
cout << dp[r] - dp[l - 1] << endl;
}
return 0;
}二、【模板】二维前缀和
1.题目链接：DP35【模板】二维前缀和
2.题目描述：
给你一个 n 行 m 列的矩阵 A ，下标从1开始。
接下来有 q 次查询，每次查询输入 4 个参数 x1 , y1 , x2 , y2
请输出以 (x1, y1) 为左上角 , (x2,y2) 为右下角的子矩阵的和输入描述：
第一行包含三个整数n,m,q.
接下来n行，每行m个整数，代表矩阵的元素
接下来q行，每行4个整数x1, y1, x2, y2，分别代表这次查询的参数
1≤𝑛,𝑚≤1000
1≤𝑞≤105
−109≤𝑎[𝑖][𝑗]≤109
1≤𝑥1≤𝑥2≤𝑛
1≤𝑦1≤𝑦2≤𝑚输出描述：
输出q行，每行表示查询结果。
示例1
输入：
3 4 3 1 2 3 4 3 2 1 0 1 5 7 8 1 1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 4输出：
8 25 32
3.解法（前缀和）
🍃算法思路：
类比于一维数组的形式，如果我们能处理出来从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这片区域内所有元素的累加和，就可以在 O(1) 的时间内，搞定矩阵内任意区域内所有元素的累加和。因此我们接下来仅需完成两步即可：
- 第一步：搞出来前缀和矩阵
这里就要用到一维数组里面的拓展知识，我们要在矩阵的最上面和最左边添加上一行和⼀列 0，这样我们就可以省去非常多的边界条件的处理（大家可以自行尝试直接搞出来前缀和矩阵，边界条件的处理会让你崩溃的）。处理后的矩阵就像这样：
这样，我们填写前缀和矩阵数组的时候，下标直接从 1 开始，能大胆使用i - 1 , j - 1 位置的值。
注意 dp 表与原数组 arr 内的元素的映射关系：
- 从 dp 表到 arr 矩阵，横纵坐标减⼀；
- 从 arr 矩阵到 dp 表，横纵坐标加⼀。
前缀和矩阵中 sum[i][j] 的含义，以及如何递推二维前缀和方程
🍁sum[i][j] 的含义：
sum[i][j] 表示，从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这段区域内，所有元素的累加和。对应下图的红色区域：
🍂递推方程：
其实这个递推方程非常像我们小学做过求图形面积的题，我们可以将 [0, 0] 位置到 [i, j]位置这段区域分解成下面的部分：
sum[i][j] = 红 + 蓝 + 绿 + 黄，分析一下这四块区域：
i. 黄色部分最简单，它就是数组中的 arr[i - 1][j - 1] （注意坐标的映射关系)；
ii. 单独的蓝不好求，因为它不是我们定义的状态表示中的区域，同理，单独的绿也是；
iii. 但是如果是红 + 蓝，正好是我们 dp 数组中 sum[i - 1][j] 的值，美滋滋；
iv. 同理，如果是红 + 绿，正好是我们 dp 数组中 sum[i][j - 1] 的值；
v. 如果把上面求的三个值加起来，那就是黄 + 红 + 蓝 + 红 + 绿，发现多算了⼀部分红的面积，因此再单独减去红的面积即可；
vi. 红的面积正好也是符合 dp 数组的定义的，即 sum[i - 1][j - 1]。
综上所述，我们的递推方程就是：
sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + arr[i - 1][j - 1]
- 第二步：使用前缀和矩阵
题目的接口中提供的参数是原始矩阵的下标，为了避免下标映射错误，这里直接先把下标映射成 dp 表里面对应的下标： row1++, col1++, row2++, col2++。
接下来分析如何使用这个前缀和矩阵，如下图（注意这里的 row 和 col 都处理过了，对应的正是 sum 矩阵中的下标）：
对于左上角 (row1, col1) 、右下角 (row2, col2) 围成的区域，正好是红色的部分。因此我们要求的就是红色部分的面 积，继续分析几个区域：
i. 黄色，能直接求出来，就是 sum[row1 - 1, col1 - 1] （为什么减一？因为要剔除掉 row 这一行和 col 这一列）
ii. 绿色，直接求不好求，但是和黄色拼起来，正好是 sum 表内 sum[row1 - 1][col2]的数据；
iii. 同理，蓝色不好求，但是 蓝 + 黄 = sum[row2][col1 - 1] ；
iv. 再看看整个面积，好求嘛？非常好求，正好是 sum[row2][col2] ；
v. 那么，红色就 = 整个面积 - 黄 - 绿 - 蓝，但是绿蓝不好求，我们可以这样减：整个面积 -（绿 + 黄 ）-（蓝 + 黄），这样相当于多减去了⼀个黄，再加上即可。
综上所述：红 = 整个面积 - （绿 + 黄）- （蓝 + 黄）+ 黄，从而可得红色区域内的元素总和为：
sum[row2][col2] - sum[row2][col1 - 1] - sum[row1 - 1][col2] + sum[row1 - 1][col1 - 1]
🍃算法代码：
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main()
{
//1.读入数据
int n = 0, m = 0, q = 0;
cin >> n >> m >> q;
vector<vector<int>> arr(n + 1, vector<int>(m + 1));
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 1; j <= m; j++)
{
cin >> arr[i][j];
}
}
// 2.预处理前缀和矩阵
vector<vector<long long>> dp(n + 1, vector<long long>(m + 1));// 防止溢出
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 1; j <= m; j++)
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] + arr[i][j] - dp[i - 1][j - 1];
}
}
// 3.使用前缀和矩阵
int x1 = 0, y1 = 0, x2 = 0, y2 = 0;
while(q--)
{
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
cout << dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1] << endl;
}
return 0;
}三、寻找数组的中心下标
1.题目链接：724. 寻找数组的中心下标
2.题目描述：
给你一个整数数组
nums，请计算数组的 中心下标 。数组 中心下标 是数组的一个下标，其左侧所有元素相加的和等于右侧所有元素相加的和。
如果中心下标位于数组最左端，那么左侧数之和视为
0，因为在下标的左侧不存在元素。这一点对于中心下标位于数组最右端同样适用。如果数组有多个中心下标，应该返回 最靠近左边 的那一个。如果数组不存在中心下标，返回
-1。示例 1：
输入：nums = [1, 7, 3, 6, 5, 6] 输出：3 解释： 中心下标是 3 。 左侧数之和 sum = nums[0] + nums[1] + nums[2] = 1 + 7 + 3 = 11 ， 右侧数之和 sum = nums[4] + nums[5] = 5 + 6 = 11 ，二者相等。示例 2：
输入：nums = [1, 2, 3] 输出：-1 解释： 数组中不存在满足此条件的中心下标。示例 3：
输入：nums = [2, 1, -1] 输出：0 解释： 中心下标是 0 。 左侧数之和 sum = 0 ，（下标 0 左侧不存在元素）， 右侧数之和 sum = nums[1] + nums[2] = 1 + -1 = 0 。
3.解法（前缀和）
🍒算法思路：
从中心下标的定义可知，除中心下标的元素外，该元素左边的「前缀和」等于该元素右边的「后缀和」。
- 因此，我们可以先预处理出来两个数组，一个表示前缀和，另一个表示后缀和。
- 然后，我们可以用一个 for 循环枚举可能的中心下标，判断每一个位置的「前缀和」以及「后缀和」，如果二者相等，就返回当前下标。
🍒算法代码：
class Solution
{
public:
int pivotIndex(vector<int>& nums)
{
int n = nums.size();
vector<int> f(n), g(n);
// 预处理前缀和数组和后缀和数组
for(int i = 1; i < n; i++)
{
f[i] = f [i - 1] + nums[i - 1];
}
for(int i = n - 2; i >= 0; i--)
{
g[i] = g[i + 1] + nums[i + 1];
}
// 使用
for(int i = 0; i < n; i++)
{
if(f[i] == g[i])
return i;
}
return -1;
}
};四、除自身以外数组的乘积
1.题目链接：238. 除自身以外数组的乘积
2.题目描述：
给你一个整数数组
nums，返回数组answer，其中answer[i]等于nums中除nums[i]之外其余各元素的乘积 。题目数据 保证 数组
nums之中任意元素的全部前缀元素和后缀的乘积都在 32 位 整数范围内。请 不要使用除法，且在
O(n)时间复杂度内完成此题。示例 1:
输入: nums = [1,2,3,4] 输出: [24,12,8,6]示例 2:
输入: nums = [-1,1,0,-3,3] 输出: [0,0,9,0,0]提示：
2 <= nums.length <= 105-30 <= nums[i] <= 30- 保证 数组
nums之中任意元素的全部前缀元素和后缀的乘积都在 32 位 整数范围内
3.解法（前缀和）
🍒算法思路：
注意题目的要求，不能使用除法，并且要在 O(N) 的时间复杂度内完成该题。那么我们就不能使用暴力的解法，以及求出整个数组的乘积，然后除以单个元素的方法。
继续分析，根据题意，对于每一个位置的最终结果 ret[i] ，它是由两部分组成的：
- nums[0] * nums[1] * nums[2] * ... * nums[i - 1]
- nums[i + 1] * nums[i + 2] * ... * nums[n - 1]
于是，我们可以利用前缀和的思想，使用两个数组 post 和 suf，分别处理出来两个信息：
- post 表示：i 位置之前的所有元素，即 [0, i - 1] 区间内所有元素的前缀乘积，
- suf 表示 i 位置之后的所有元素，即 [i + 1, n - 1] 区间内所有元素的后缀乘积。
然后再处理最终结果。
🍒算法代码：
class Solution
{
public:
vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums)
{
int n = nums.size();
vector<int> f(n), g(n);
// 预处理前缀积数组以及后缀积数组
f[0] = g[n - 1] = 1;// 处理细节问题
for(int i = 1; i < n; i++)
{
f[i] = f[i - 1] * nums[i - 1];
}
for(int i = n - 2; i >= 0; i--)
{
g[i] = g[i + 1] * nums[i + 1];
}
// 使用
vector<int> ret(n);
for(int i = 0; i < n; i++)
{
ret[i] = f[i] * g[i];
}
return ret;
}
};
