【概率论】-2-概率论公理(Axioms of Probability)

news2024/9/24 1:24:09

上一篇文章我们学习了基本的概率论内容-排列组合，本次我们学习概率论公理的内容，正式开始计算概率，在开始前我们需要学习一些基本概念。

一.样本空间和事件

1.样本空间

2.事件

3.交并补

二、概率公理

1.基本公理

2.对称差

2.布尔不等式

三、具有等可能结果的样本空间

四、连续集函数

一.样本空间和事件

1.样本空间

一个试验的所有可能结果构成的集合，称为试验的样本空间（Sample Space），记作S。如扔两枚硬币，样本空间为：

$S = \left \{ (H,H),(H,T),(T,H),(T,T) \right \}$

如仍两个骰子，考察点数，那么样本空间为：

$S = \left \{ (i,j):i,j = 1,2,3,4,5,6 \right \}$

2.事件

样本空间的任意子集是事件（event），如果实验的结果包含在事件内，那么就是事件发生了

3.交并补

这个过于简单，画个Venn图结束：分别是并集（或）、交集（且）、补集、包含

基本运算遵循代数运算：

这里需要学习一个进行运算的德摩根率，证明过程不论述：

二、概率公理

1.基本公理

如果事件E中的样本点数量为n(E)，而样本空间Ω中的样本点数量为n(Ω)，假设样本空间Ω中的每个样本点发生的可能性相等，那么事件E发生的概率由下式给出：

我们得到几条公理：

（1） $P(E) = 1 - P(E^{c})$

（2） $if :E\subset F,than P(E)<P(F)$

（3） $P(EF)=P(E)+P(F)-P(EF)$

（4）

2.对称差

对称差包含了属于E或F但不同时属于两者的所有元素。换句话说，对称差包含了那些仅属于E或仅属于F的元素，但不包括同时属于E和F的元素。

E Δ F = (E ∪ F) - (E ∩ F)

（1）交换律：E Δ F = F Δ E
（2）结合律：(E Δ F) Δ G = E Δ (F Δ G)
（3）对称差与并集的关系：E Δ (F ∪ G) = (E Δ F) ∩ (E Δ G)
（4）对称差与交集的关系：E Δ (F ∩ G) = (E Δ F) ∪ (E Δ G)

我们使用Mathematica可视化：

2.布尔不等式

布尔不等式指出对于全部事件的概率不大于单个事件的概率总和（字面意思理解）：

我们通过一个例题加深我们的理解：

例1：从集合{1,...,1000}中随机有放回地抽取整数。设事件E为抽到的数能同时被5、7或13整除。用Di表示抽到的数能被i整除的事件，取到一个这样的数的概率是多少？

我们使用mathematica进行计算：

似乎有点复杂，我们使用Java写一个简单模拟程序：

import java.util.Random;

public class Simulation {
    public static void main(String[] args) {
        int totalNumbers = 1000;
        int simulations = 3000;
        int count = 0;
        Random random = new Random();

        for (int i = 0; i < simulations; i++) {
            int number = random.nextInt(totalNumbers) + 1; // 生成1到1000之间的随机数
            if (number % 5 == 0 || number % 7 == 0 || number % 13 == 0) {
                count++;
            }
        }

        double simulatedProbability = (double) count / simulations;
        System.out.println("通过模拟得到的概率是: " + simulatedProbability);
    }
}