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目录
1图论基础
1.1概念
1.2在线绘图
1.2.1网站
1.2.2MATLAB
1.3无向图的权重邻接矩阵
1.4有向图的权重邻接矩阵
2迪杰斯特拉算法
2.1概念
2.2步骤
2.3问题
3贝尔曼福特算法
3.1概念
3.2负权回路
3.3代码
3.3.1计算最短路径
3.3.2返回任意两点的距离矩阵
3.3.3找给定范围内所有的点
3.3.4示例代码
4总结
| 名称 | 重要性 | 难度 |
| 图论最短路径求解：迪杰斯特拉算法和贝尔曼福特算法 | ★★★★ | ★★★ |
1图论基础
1.1概念
图论中的图（ Graph ）是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。一个图可以用数学语言描述为 G(V(G),E(G)) 。 V(vertex) 指的是图的顶点集，E(edge) 指的是图的边集。根据边是否有方向，可将图分为有向图和无向图。另外，有些图的边上还可能有权值，这样的图称为有权图。
1.2在线绘图
1.2.1网站
https://csacademy.com/app/graph_editor/
1.2.2MATLAB
注：（ 1 ） Matlab 做出来的图不是很漂亮，要是节点比较少，还是推荐大家使用在线作图。 （ 2 ）该函数在 2015b 之后的版本才支持，如果运行出错请下载新版本 Matlab 。
代码全部摘自清风老师：
%% 注意：以下代码需要较新版本的matlab才能运行（最好是2016版本及以上哦）
% 如果运行出错请下载新版的matlab代码再运行
%% Matlab作无向图
% （1）无权重（每条边的权重默认为1）
% 函数graph(s,t)：可在 s 和 t 中的对应节点之间创建边，并生成一个图
% s 和 t 都必须具有相同的元素数；这些节点必须都是从1开始的正整数，或都是字符串元胞数组。
s1 = [1,2,3,4];
t1 = [2,3,1,1];
G1 = graph(s1, t1);
plot(G1)
% 注意哦，编号最好是从1开始连续编号，不要自己随便定义编号
s1 = [1,2,3,5];
t1 = [2,3,1,1];
G1 = graph(s1, t1);
plot(G1)
% 注意字符串元胞数组是用大括号包起来的哦
s2 = {'学校','电影院','网吧','酒店'};
t2 = {'电影院','酒店','酒店','KTV'};
G2 = graph(s2, t2);
plot(G2, 'linewidth', 2) % 设置线的宽度
% 下面的命令是在画图后不显示坐标
set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );
% （2）有权重
% 函数graph(s,t,w)：可在 s 和 t 中的对应节点之间以w的权重创建边，并生成一个图
s = [1,2,3,4];
t = [2,3,1,1];
w = [3,8,9,2];
G = graph(s, t, w);
plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2)
set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );
%% Matlab作有向图
% 无权图 digraph(s,t)
s = [1,2,3,4,1];
t = [2,3,1,1,4];
G = digraph(s, t);
plot(G)
set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );
% 有权图 digraph(s,t,w)
s = [1,2,3,4];
t = [2,3,1,1];
w = [3,8,9,2];
G = digraph(s, t, w);
plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2)
set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] ); 1.3无向图的权重邻接矩阵
Inf指代权重为无穷
1.4有向图的权重邻接矩阵
2迪杰斯特拉算法
2.1概念
算法讲解视频地址：
https://www.bilibili.com/video/av54668527
2.2步骤
2.3问题
按照该算法，从1到2的最短路径为2，路径为
，但实际从
的距离为1，才是真正的最短路径。
3贝尔曼福特算法
3.1概念
为了解决迪杰斯特拉算法不能应用于负权重问题，引入贝尔曼福特算法。
该算法不支持含有负权回路的图。
有兴趣的同学可以参考下面两份资料弄懂其实现原理：
https://blog.csdn.net/a8082649/article/details/81812000https://www.bilibili.com/video/av43217121
3.2负权回路
含有负权重的无向图都是负权回路
3.3代码
3.3.1计算最短路径
| 选项 | 说明 |
|
'auto'
（
默认值）
|
'auto'
选项会自动选择算法：
•
'unweighted'
用于没有边权重的
graph
和
digraph
输入。
•
'positive'
用于具有边权重的所有
graph
输入，并要求权
重为非负数。此选项还用于具有非负边权重的
digraph
输
入。
•
'mixed'
用于其边权重包含某些负值的
digraph
输入。图
不能包含负循环。
|
|
'unweighted'
|
广度优先计算，将所有边权重都视为
1
。
|
|
'positive'
| Dijkstra 算法，要求所有边权重均为非负数。 |
|
'mixed'
（
仅适用于
digraph即有向图
）
|
适用于有向图的
Bellman‐Ford
算法，要求图没有负循环。
尽管对于相同的问题，
'mixed'
的速度慢于
'positive'
，但
'mixed'
更为通用，因为它允许某些边权重为负数。
|
3.3.2返回任意两点的距离矩阵
3.3.3找给定范围内所有的点
3.3.4示例代码
代码全部摘自清风老师
%% 注意：以下代码需要较新版本的matlab才能运行（最好是2016版本及以上哦）
% 如果运行出错请下载新版的matlab代码再运行
% 注意哦，Matlab中的图节点要从1开始编号，所以这里把0全部改为了9
% 编号最好是从1开始连续编号，不要自己随便定义编号
s = [9 9 1 1 2 2 2 7 7 6 6 5 5 4];
t = [1 7 7 2 8 3 5 8 6 8 5 3 4 3];
w = [4 8 3 8 2 7 4 1 6 6 2 14 10 9];
G = graph(s,t,w);
plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2)
set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );
[P,d] = shortestpath(G, 9, 4) %注意：该函数matlab2015b之后才有哦
% 在图中高亮我们的最短路径
myplot = plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2); %首先将图赋给一个变量
highlight(myplot, P, 'EdgeColor', 'r') %对这个变量即我们刚刚绘制的图形进行高亮处理（给边加上r红色）
% 求出任意两点的最短路径矩阵
D = distances(G) %注意：该函数matlab2015b之后才有哦
D(1,2) % 1 -> 2的最短路径
D(9,4) % 9 -> 4的最短路径
% 找出给定范围内的所有点 nearest(G,s,d)
% 返回图形 G 中与节点 s 的距离在 d 之内的所有节点
[nodeIDs,dist] = nearest(G, 2, 10) %注意：该函数matlab2016a之后才有哦4总结
该章节主要是为了解决图论中最短路径问题的两种算法，迪杰斯特拉算法是基于贪心思想的一种算法，但是不能够解决含有负权值的问题，而贝尔曼福特算法可以解决迪杰斯特拉算法的不足，但是同样不能解决含有负权回路的最短路径问题。
