数据结构与算法02迭代|递归

news2024/9/23 1:38:23

一、迭代(iteration)

1、for循环

2、while循环

二、递归（recursion）

1、普通递归

2、尾递归

3、递归树

三、对比

简介：在算法中，重复执行某个任务是常见的，它与复杂度息息相关，在程序中实现重复执行任务，即两种基本的程序控制结构：迭代（循环）与递归。

一、迭代(iteration)

迭代即循环，当满足条件时，重复执行某个代码块，主要可分为for和while.

1、for循环

for循环适用于在知道迭代次数时使用，在Python中，一般通过range(a,b)或range(b)实现，range(b)指的是输出b个数且从0开始，即取值范围为[0,b);而range(a,b)的取值范围为[a,b)，输出的数的个数为（b-a）个。

下面以求和函数，1，2，3，... ，n-1，n的for循环为例：

def sum(n:int)->int:
    result = 0
    for i in range(1,n+1):
        result += i
    return result

x = int(input())
print(f"对前{x}个数求和为{sum(x)}")

2、while循环

在while循环中，每次都会检查后面的条件，只有当满足条件时（逻辑值为1/True，也就是非0），会不断执行代码块，否则结束循环。相比较而言，while比for循环的自由度高，可以较自由的设计条件初始化以及更新步骤。

下面以求和函数，1，2，3，... ，n-1，n的while循环为例：

def sum(n:int)->int:
    result = 0
    i = 1
    while i <= n:
        result += i
        i += 1
    return result

x = int(input())
print(f"对前{x}个数求和为{sum(x)}")

二、递归（recursion）

递归是一种算法策略，通过函数不断调用自身解决问题，它主要包含两个部分：递和归。

递：就是程序不断深入调用自身，通常传入更小或更简化的参数，直到达到终止条件为止。
归：在达到终止条件后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。

所谓递归，最重要的就是确定好递归的终止条件，其余只需要递和归即可。

1、普通递归

下面通过递归实现一个求和（1，2，3，... ，n）的例子：

我们需要有终止条件，输入一个数n，若1为终止条件，则需要有n->1递，1->n归即可。

由此可见，普通递归是在归的过程中进行求和运算的，每层返回之后都需要执行一次求和运算。

def recursion(n:int)->int:
    result = 0
    if n == 1:
        return 1
    result = recursion(n - 1)
    return n + result
x = int(input())
print(f"对前{x}个数求和为{sum(x)}")

2、尾递归

函数在返回前的最后一步才进行递归调用，则该函数可以被编译器或解释器优化，使其在空间效率上与迭代相当，这种情况被称为尾递归。也就是说，对于尾递归，递的过程就进行求和操作，在归的过程中只需要层层返回即可了。

def tail_recursion(n:int,res:int)->int:
    if n == 0:
        return res
    return tail_recursion(n-1,res + n)
print(tail_recursion(100,0))

3、递归树

当处理与“分治”相关的算法问题时，递归往往比迭代的思路更加直观、代码更加易读。以“斐波那契数列”为例。

给定一个斐波那契数列 0,1,1,2,3,5,8,13,… ，求该数列的第 n个数字。

"""
斐波那契数列
f(1)=0,f(2)=1,f(3)=1,f(4)=2=f(2)+f(3),f(5)=3=f(3)+f(4)
"""
def number(n:int)->int:
    if n in (1,2):
        return n - 1
    return number(n - 2) + number(n - 1)
print(number(8))

若将上述的索引和索引对应的值看成函数关系，那么则会有不断调用的函数关系，如图3所示，称其为递归树。