变形协调方程
- 正应变的表达式：
- 切应变的表达：
考虑坐标位移移动造成的增量
应变——考虑物体的变形的剧烈程度
正应变——微元线段长度的变化
剪应变——两微元所夹角度的变化
正应变——拉伸为正，压缩为负
剪应变——夹角减小为正，增大为负
正应变的表达式：
A点的变化：
A
′
A'
A′点的坐标减去
P
′
P'
P′点的坐标
∣
P
′
A
′
∣
=
u
+
∂
u
∂
x
d
x
−
u
|P'A'|=u+\frac{\partial u}{\partial x}dx-u
∣P′A′∣=u+∂x∂udx−u
ϵ
x
=
P
′
A
′
−
P
A
P
A
=
u
+
∂
u
∂
x
d
x
−
u
+
x
A
−
x
P
−
∣
P
A
∣
=
∂
u
∂
x
d
x
\epsilon_x=\frac{P'A'-PA}{PA}=u+\frac{\partial u}{\partial x}dx-u+x_A-x_P-|PA|=\frac{\partial u}{\partial x}dx
ϵx=PAP′A′−PA=u+∂x∂udx−u+xA−xP−∣PA∣=∂x∂udx
x
A
x_A
xA是A点原来在x方向上的坐标
P
A
P_A
PA是P点原来在x方向上的坐标
P A PA PA的长度 ∣ P A ∣ |PA| ∣PA∣就是 x A − x P x_A-x_P xA−xP
由此可以得到三个方向的正应变
ϵ
x
=
∂
u
∂
x
d
x
\epsilon_x=\frac{\partial u}{\partial x}dx
ϵx=∂x∂udx
ϵ
y
=
∂
u
∂
y
d
y
\epsilon_y=\frac{\partial u}{\partial y}dy
ϵy=∂y∂udy
ϵ
z
=
∂
u
∂
z
d
z
\epsilon_z=\frac{\partial u}{\partial z}dz
ϵz=∂z∂udz
切应变的表达：
对
α
\alpha
α求正切，竖直方向的改变量除以改变的长度
d
x
dx
dx
t
a
n
α
=
(
v
+
∂
v
∂
x
d
x
)
−
(
v
)
d
x
=
∂
v
∂
x
tan \alpha=\frac{(v+\frac{\partial v}{\partial x}dx)-(v)}{dx}=\frac{\partial v}{\partial x}
tanα=dx(v+∂x∂vdx)−(v)=∂x∂v
因为 α \alpha α和 t a n α tan \alpha tanα等价无穷小
所以在一个小的角度范围内:
α
=
(
v
+
∂
v
∂
x
d
x
)
−
(
v
)
d
x
=
∂
v
∂
x
\alpha=\frac{(v+\frac{\partial v}{\partial x}dx)-(v)}{dx}=\frac{\partial v}{\partial x}
α=dx(v+∂x∂vdx)−(v)=∂x∂v
则 β = ∂ u ∂ y \beta=\frac{\partial u}{\partial y} β=∂y∂u
γ
x
y
=
α
+
β
=
∂
v
∂
x
+
∂
u
∂
y
\gamma_{xy}=\alpha+\beta=\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}
γxy=α+β=∂x∂v+∂y∂u
切应变：交叉偏导之和
变形协调方程的推导
推导过程：
对于几何微小元体：
其具有应变三个方向的应变：
∂ 2 ϵ x ∂ y 2 + ∂ 2 ϵ y ∂ x 2 = ∂ 2 γ x y ∂ x ∂ y \frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \epsilon_y}{\partial x^2}=\frac{\partial^2\gamma_{xy} }{\partial x \partial y} ∂y2∂2ϵx+∂x2∂2ϵy=∂x∂y∂2γxy
