成为编程大佬！！——数据结构与算法（1）—

成为编程大佬！！——数据结构与算法（1）——算法复杂度！！

news2024/10/2 20:35:16

前言：解决同一个程序问题可以通过多个算法解决，那么要怎样判断一个算法的优劣呢？🤔

算法复杂度

算法复杂度是对某个程序运行时的时空效率的粗略估算，常用来判断一个算法的好坏。

我们通过两个维度来看算法复杂度——时间复杂度 和 空间复杂度。

时间复杂度

随着计算机科学技术的发展，计算机的内存从原来的256MB、512MB直到现在的16G甚至32G，存储空间的限制逐渐减小。因此，现在对于程序算法复杂度，更多地关注到时间上面去。

不难知道，假设每条语句的执行时间相同，则有：

程序运行所需要的总时间 = 每条语句的执行时间 x 执行语句的次数——①

这条公式里，执行次数是可以确定的，但是执行时间缺难以确定。

int begin = clock();//clock()函数返回程序运行到当前位置已花费的时间。
int count = 0;
for(int i = 0; i < 100000000; ++i)
{
    count++;
}
int end = clock();
printf("%d",begin - end);//打印循环完毕后总共消耗的时间

PS:clock()函数包含在头文件time.h中，返回值的时间单位是毫秒。

我们可以试着在本地多次运行这段代码，然后就可以发现，并不是每一次的运行时间都是相同的，但是相差并不大。

而对于复杂度来说，我们只需要进行粗略的估算即可，因此，我们省略公式①中对执行时间的计算，只关注可以准确计算得出的执行次数。

T（N）函数式

时间复杂度的T(N) 函数式用来表示程序的执行语句次数。

int time = 0;//------------1
scanf("%d", &time);//-----------1
int count = 0;//---------1
for(int i = 0; i < time; ++i)
{
    for(int j = 0; j < time; ++j)
    {
        count++;//-------------N*N
        printf("%d ", count);//---------N*N
    }
}
for（int i = 0; i < time; ++i)
{
    count--;//------------N
}
printf("%d",count);//--------1
count = 0;//-----------1

如上代码，我们来用T(N)表达式来表示执行语句次数，可得： T(N)=1+1+1+n*n+n*n+n+1+1 = $2N^{2}+N+5$

这段代码，对执行次数有影响的是time，所以把 time 作为T(N)函数式的变量，用大写字母N来替换。最终 $2N^{2}+N+5$ 就表示这段代码的执行语句次数。

大O渐进表示法

T(N)函数式还不是我们需要的最终结果，复杂度的最终结果，是一个数量级结果。那我们就要根据T(N)函数式，并运用大O渐进表示法来求得数量级结果。（下面用上文求得的T(N)函数式作例子）

基本规则：

①先求得T(N)函数式。（若对执行语句次数有影响的变量不止一个，函数式就为T(N,M,……）。）已求得T(N)= $2N^{2}+N+5$ 。

②取T(N)中最高阶项。取得 $2N^{2}$ 。

③最高阶项舍去系数（系数取1）。得 $N^{2}$ 。

④放入O（）的括号中。得O( $N^{2}$ )。

O( $N^{2}$ )就是上述代码的时间复杂度结果。根据O( $N^{2}$ )我们可知，上述代码的时间复杂度是平方级的。

其他规则：

其他规则也务必得遵守其他规则才ok喔。

⑤若最高阶项为常数，则均表示为O(1)，表示数量级为常数级。

⑥对于被多个变量的影响执行次数的程序来说：

i.T(N)函数式就有多个变量，我们一般依次用N，M，L，……来替换表示，最终得到一个多元函数式。如T(N,M) = N + M。

ii.不同的变量，各自遵守②③进行取舍。若有如取舍后的结果为 $N^{2}+N*M$ ，就要分情况讨论

N远大于M，则把M看作1；

M远大于N，就把N看作1；

如果N、M相差不大，可以把 N看成M 或者 M看成N。

再进一步取舍，得到最终答案。

当然，不分情况讨论也是正确的大O表示法结果，但是我们更需要的是一个数量级结果，所以，我们最好如上进行进一步讨论。

⑦对数级复杂度，即O( $\lg N$ )、O（ $\log_{2}N$ ）等等，可以写做O（ $\log N$ ）省去底数。

会出现对数级复杂度的例子：

int k = 2;//-------------1
int n = 0;//------------1
scanf("%d", &n);//----------1
while(k < n)
{
    k *= 2;//------------2^k < n时循环，结束时2^k > n
}
printf("%d", k);

可得程序结束时，有 $2^{k+1}$ > $2^{k}$ > n，可求得循环次数N = $\log_{2}n$ ，即k乘了N次2。T(N)= $\log_{2}n$ ，时间复杂度为O（ $\log N$ ），或者O（ $\log_{2}N$ ）皆可（因为底数对于对数得最终结果影响很小，所以一般都写成第一种情况）。

⑧递归情况

如下代码，求n的阶乘：

int fac(int n)
{
    if(n == 0)
    {
        return 1;
    }
    return fac(n - 1) * n;
}

可知求阶乘要进行n层递归。同时，肉眼可见，每次递归的时间复杂度为O（1），因此，完成n层递归的时间复杂度为 N * O（1）= O（N）。（也就是直接在数量级层面做乘法即可）

以上规则已足够应对对大多数程序的算法判断了。

空间复杂度

即使存储空间现在已经不是重头问题了，但是存储空间也不能随意浪费。空间复杂度仍然是算法好坏的评判标准之一。

T（N）函数式

空间复杂度的T(N)函数式用来表示 程序运行时 创建的 空间个数。

运行时创建的空间——编译完成之后，创建的所有空间。包括全局变量，局部变量，函数栈帧……

空间个数——不考虑空间的大小，只考虑开辟空间的个数。

注意：

i.数组的空间个数为数组长度。

ii.动态申请的空间，如malloc（sizeof(int)*n），这个语句的T(N)=N。


int func(int** arr, int n)
{
    *arr = (int*)malloc(sizeof(int) * n);//-------------n
    if(!*arr)
    {
        perror("malloc");
        return 0;
    }
    return 1;   
}

int main()
{
    int* arr = NULL;//----------------1
    scanf("%d", &n);
    func(&arr, n);//------------1——函数栈帧（里面包含了形参的开辟空间）
    return 0;
}

得T(N)=1+1+n=N+2，其中两个1，分别是指针arr的空间，和func函数栈帧的空间；n为func中动态申请的空间。

然后同时间复杂度一样，通过大O渐进表示法来求得最终空间复杂度结果。

最终上述代码的空间复杂度是O(N)。