算法金 | 一个强大的算法模型：t-SNE ！！

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t-SNE（t-Distributed Stochastic Neighbor Embedding）是一种用于降维和数据可视化的非线性算法。它被广泛应用于图像处理、文本挖掘和生物信息学等领域，特别擅长处理高维数据。

本文旨在详细介绍 t-SNE 算法的基本概念、数学基础、算法步骤、代码示范及其在不同领域的应用案例。我们还将探讨 t-SNE 的常见误区和注意事项，并与其他降维算法进行对比，以帮助铁子们更好地理解和应用 t-SNE 算法。

by datacamp

t-SNE 的基本概念

1.1 什么是 t-SNE

t-SNE 是一种非线性降维技术，用于将高维数据映射到低维空间，以便进行可视化。它通过保持高维空间中数据点之间的局部相似性来生成低维空间的表示。这种方法特别适用于揭示复杂数据集中的模式和结构

1.2 t-SNE 的核心思想

t-SNE 的核心思想是通过两步过程实现高维到低维的映射。首先，t-SNE 在高维空间中使用高斯分布来计算数据点之间的条件概率。然后，在低维空间中，t-SNE 使用 t 分布来计算相似度，并通过最小化两个分布之间的 Kullback-Leibler 散度（KL 散度）来优化数据点的位置。这个过程可以通过梯度下降法进行优化，从而得到低维空间中的表示。

2. t-SNE 的数学基础

对看公司很痛苦的同学，可直接跳过公式

2.1 高斯分布与条件概率

在 t-SNE 算法中，首先需要在高维空间中计算数据点之间的相似度。为此，我们使用高斯分布来表示这种相似度。

2.2 Kullback-Leibler 散度

在低维空间中，t-SNE 使用 t 分布来计算数据点之间的相似度。与高维空间中的条件概率类

2.3 梯度下降法

为了最小化 KL 散度，t-SNE 使用梯度下降法来优化低维空间中数据点的位置。梯度下降法是一种迭代优化算法，每次迭代更新数据点的位置，使 KL 散度逐渐减小。具体来说，t-SNE 计算 KL 散度对每个数据点位置的梯度，并按照负梯度的方向更新数据点的位置：

3. t-SNE 的算法步骤

3.1 高维空间中的相似度计算

在 t-SNE 算法中，首先需要计算高维空间中数据点之间的相似度。具体步骤如下：

对于每个数据点 (x_i)，计算其与其他数据点 (x_j) 的欧氏距离 (|x_i - x_j|)
使用高斯分布计算条件概率 (p_{j|i})，即在给定 (x_i) 的情况下选择 (x_j) 作为邻居的概率：

计算联合概率 (p_{ij})：

3.2 低维空间中的相似度计算

在低维空间中，t-SNE 使用 t 分布来计算数据点之间的相似度。具体步骤如下：

对于每个低维数据点 (y_i)，计算其与其他数据点 (y_j) 的欧氏距离 (|y_i - y_j|)
使用 t 分布计算相似度 (q_{ij})：

3.3 损失函数的优化

t-SNE 通过最小化高维空间和低维空间之间的相似度分布的 Kullback-Leibler 散度来优化低维空间中数据点的位置。具体步骤如下：

计算 KL 散度：

计算 KL 散度对每个低维数据点位置的梯度：

使用梯度下降法更新低维数据点的位置：

通过上述步骤迭代优化，t-SNE 最终可以得到一个低维空间中的表示，使得高维数据的局部相似性在低维空间中得以保留

4. t-SNE 的代码示范

在这部分，我们将生成一个带有武侠风格的数据集，包含三个门派的武侠人物。数据集的特征包括武力值、智力值和身法值。我们将使用 t-SNE 进行降维，并展示其可视化效果。接下来，我们会调整 t-SNE 的参数以观察其对降维结果的影响。

4.1 数据集生成与基本实现

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.manifold import TSNE
from sklearn.datasets import load_iris

# 生成武侠人物数据集
np.random.seed(42)
num_samples_per_class = 50
data = {
    '武力值': np.hstack([np.random.normal(loc=5, scale=1, size=num_samples_per_class),
                        np.random.normal(loc=7, scale=1, size=num_samples_per_class),
                        np.random.normal(loc=9, scale=1, size=num_samples_per_class)]),
    '智力值': np.hstack([np.random.normal(loc=3, scale=1, size=num_samples_per_class),
                        np.random.normal(loc=5, scale=1, size=num_samples_per_class),
                        np.random.normal(loc=7, scale=1, size=num_samples_per_class)]),
    '身法值': np.hstack([np.random.normal(loc=1, scale=1, size=num_samples_per_class),
                        np.random.normal(loc=2, scale=1, size=num_samples_per_class),
                        np.random.normal(loc=3, scale=1, size=num_samples_per_class)]),
    '门派': np.hstack([np.full(num_samples_per_class, '少林'),
                      np.full(num_samples_per_class, '武当'),
                      np.full(num_samples_per_class, '峨眉')])
}
df = pd.DataFrame(data)

# 将类别标签转换为数字
df['门派'] = df['门派'].astype('category').cat.codes

# 打印前几行数据
print(df.head())

# t-SNE 降维
X = df[['武力值', '智力值', '身法值']]
y = df['门派']
tsne = TSNE(n_components=2, random_state=42)
X_tsne = tsne.fit_transform(X)

# 可视化 t-SNE 结果
plt.figure(figsize=(10, 7))
scatter = plt.scatter(X_tsne[:, 0], X_tsne[:, 1], c=y, cmap='viridis')
plt.colorbar(scatter, ticks=[0, 1, 2], label='门派')
plt.clim(-0.5, 2.5)
plt.title('t-SNE 结果可视化')
plt.xlabel('t-SNE 维度 1')
plt.ylabel('t-SNE 维度 2')
plt.show()

解释与结果解读

在基本实现中，我们生成了一个包含武侠人物特征和门派标签的数据集。数据集中的武侠人物分别来自少林、武当和峨眉三个门派。我们使用 t-SNE 将数据降维到二维，并可视化其结果。不同颜色表示不同的门派，从图中可以看到，同一门派的武侠人物在降维后的二维空间中聚集在一起，而不同门派的武侠人物则分布在不同的区域。

4.2 参数调优

接下来，我们调整 t-SNE 的两个关键参数：perplexity 和 learning_rate，并观察它们对降维结果的影响。

# 调整 perplexity 参数
tsne_perplexity = TSNE(n_components=2, perplexity=30, random_state=42)
X_tsne_perplexity = tsne_perplexity.fit_transform(X)

plt.figure(figsize=(10, 7))
scatter_perplexity = plt.scatter(X_tsne_perplexity[:, 0], X_tsne_perplexity[:, 1], c=y, cmap='viridis')
plt.colorbar(scatter_perplexity, ticks=[0, 1, 2], label='门派')
plt.clim(-0.5, 2.5)
plt.title('t-SNE 结果 (perplexity=30)')
plt.xlabel('t-SNE 维度 1')
plt.ylabel('t-SNE 维度 2')
plt.show()

# 调整 learning_rate 参数
tsne_learning_rate = TSNE(n_components=2, learning_rate=200, random_state=42)
X_tsne_learning_rate = tsne_learning_rate.fit_transform(X)

plt.figure(figsize=(10, 7))
scatter_learning_rate = plt.scatter(X_tsne_learning_rate[:, 0], X_tsne_learning_rate[:, 1], c=y, cmap='viridis')
plt.colorbar(scatter_learning_rate, ticks=[0, 1, 2], label='门派')
plt.clim(-0.5, 2.5)
plt.title('t-SNE 结果 (learning_rate=200)')
plt.xlabel('t-SNE 维度 1')
plt.ylabel('t-SNE 维度 2')
plt.show()

解释与结果解读

调整 perplexity 参数：

将 perplexity 设置为 30 后，我们再次对数据进行 t-SNE 降维。结果显示，调整 perplexity 会影响数据点在二维空间中的分布。perplexity 参数决定了 t-SNE 在计算高维空间中数据点的相似度时考虑的邻居数量。适当调整 perplexity 可以更好地平衡局部和全局数据结构。
调整 learning_rate 参数：
将 learning_rate 设置为 200 后，我们再次对数据进行 t-SNE 降维。结果显示，调整 learning_rate 会影响降维结果的收敛速度和最终效果。learning_rate 参数决定了梯度下降的步长，合适的 learning_rate 可以加速收敛并避免陷入局部最优解。

通过这些示例和详细解释，可以更好地理解 t-SNE 算法及其在实际数据集中的应用效果。希望这能帮助你更好地掌握 t-SNE 的使用方法和参数调优技巧。

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5. t-SNE 的应用案例

5.1 图像数据降维

t-SNE 在图像数据降维中非常有效。以下示例展示了如何将 t-SNE 应用于图像数据降维和可视化。我们将使用手写数字数据集（MNIST）进行演示。

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.manifold import TSNE
from sklearn.datasets import fetch_openml
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.decomposition import PCA
import matplotlib.pyplot as plt

# 加载 MNIST 数据集
mnist = fetch_openml('mnist_784', version=1)
X = mnist.data / 255.0  # 将数据归一化到 [0, 1] 区间
y = mnist.target

# 随机选择 10000 个数据点
np.random.seed(42)
indices = np.random.choice(X.shape[0], 10000, replace=False)
X_subset = X.iloc[indices]
y_subset = y.iloc[indices]

# 标准化数据
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X_subset)

# 应用 t-SNE 进行降维
tsne = TSNE(n_components=2, perplexity=30, n_iter=1000, random_state=42)
X_tsne = tsne.fit_transform(X_scaled)

# t-SNE 可视化结果
plt.figure(figsize=(12, 8))
scatter_tsne = plt.scatter(X_tsne[:, 0], X_tsne[:, 1], c=y_subset.astype(int), cmap='tab10', s=1)
plt.legend(*scatter_tsne.legend_elements(), title="Digits")
plt.title('MNIST 数据集的 t-SNE 可视化')
plt.xlabel('t-SNE 维度 1')
plt.ylabel('t-SNE 维度 2')
plt.show()

5.2 文本数据降维

t-SNE 也广泛应用于文本数据降维。以下示例展示了如何将 t-SNE 应用于文本数据降维和可视化。我们将使用新闻组数据集进行演示。

5.3 生物信息学中的应用

在生物信息学中，t-SNE 常用于基因表达数据的降维和可视化。以下示例展示了如何将 t-SNE 应用于单细胞 RNA 序列数据的降维和可视化。

6. t-SNE 的误区和注意事项

6.1 t-SNE 不适合大数据集

t-SNE 的计算复杂度较高，对于大规模数据集，计算时间和内存消耗都非常大。因此，t-SNE 不适合直接应用于大数据集。在处理大数据集时，可以考虑以下几种方法：

先使用其他降维方法（如 PCA）进行预处理，将数据维度降低到较小的范围，然后再应用 t-SNE
选择一部分代表性数据点进行 t-SNE 降维，而不是对整个数据集进行降维
使用基于树的近似算法（如 Barnes-Hut t-SNE）来加速计算

6.2 参数选择的影响

t-SNE 的降维效果对参数的选择非常敏感。两个关键参数是 perplexity 和 learning_rate。perplexity 参数控制每个数据点的有效邻居数量，一般设置在 5 到 50 之间；learning_rate 参数控制梯度下降的步长，通常设置在 10 到 1000 之间。以下是一些经验性的参数选择建议：

对于较小的数据集，可以选择较小的 perplexity 和较大的 learning_rate
对于较大的数据集，可以选择较大的 perplexity 和较小的 learning_rate
通过实验和可视化结果调整参数，以获得最佳的降维效果

6.3 结果的解释与可视化误导

t-SNE 的可视化结果虽然直观，但有时会产生误导。需要注意以下几点：

t-SNE 只保留局部相似性，低维空间中距离较远的数据点在高维空间中不一定距离较远，因此低维空间中的距离不能直接解释为高维空间中的距离
t-SNE 的随机性较强，不同的运行可能产生不同的结果，可以通过设置随机种子来获得可重复的结果
可视化结果中的簇并不总是表示真实的分类，需要结合其他信息进行综合分析

7. t-SNE 与其他降维算法的对照

7.1 与 PCA 的对照

PCA（主成分分析）和 t-SNE 是两种常用的降维算法，但它们的原理和应用场景有所不同：

基本原理：PCA 是一种线性降维方法，通过找到数据最大方差的方向（主成分），将高维数据投影到低维空间。t-SNE 是一种非线性降维方法，通过最小化高维空间和低维空间之间的概率分布差异，将高维数据嵌入到低维空间
应用场景：PCA 适用于数据维度较低且线性关系较强的情况，如数据预处理和特征选择。t-SNE 适用于高维数据和非线性关系较强的情况，如数据可视化和模式识别
计算复杂度：PCA 计算复杂度较低，适合大规模数据集。t-SNE 计算复杂度较高，不适合大规模数据集

7.2 与 LLE 的对照

LLE（局部线性嵌入）和 t-SNE 都是非线性降维方法，但它们的实现方式不同：

基本原理：LLE 通过保持数据局部邻居关系，将高维数据嵌入到低维空间。t-SNE 通过最小化高维空间和低维空间之间的概率分布差异，将高维数据嵌入到低维空间
应用场景：LLE 适用于数据维度较低且局部线性关系较强的情况，如图像数据和时间序列数据。t-SNE 适用于高维数据和非线性关系较强的情况，如文本数据和生物信息学数据
计算复杂度：LLE 的计算复杂度中等，适用于中等规模的数据集。t-SNE 的计算复杂度较高，不适合大规模数据集

7.3 不同算法的优劣势

每种降维算法都有其优劣势，选择合适的算法取决于具体的数据集和任务需求：

PCA：优点是计算速度快，结果容易解释，适用于线性关系较强的数据集。缺点是无法处理非线性关系
t-SNE：优点是能够揭示数据的非线性结构，适用于高维数据和复杂模式识别。缺点是计算复杂度高，参数选择敏感，不适合大规模数据集
LLE：优点是能够保持数据的局部邻居关系，适用于局部线性关系较强的数据集。缺点是对数据噪声敏感，计算复杂度中等

通过以上对比，可以更好地理解不同降维算法的适用场景和特点，从而选择最适合具体任务的算法

8. 相关与相对的概念引出与对比

8.1 降维与聚类

降维和聚类是数据分析中的两种不同但相关的方法：

降维：降维是将高维数据映射到低维空间，以便进行可视化或简化分析。降维方法包括 PCA、t-SNE、LLE 等。降维的目的是减少特征数量，同时尽量保留原始数据的结构信息
聚类：聚类是将数据分为若干组，使得同组数据点之间的相似度尽可能高，而不同组之间的相似度尽可能低。常用的聚类方法包括 K-means、层次聚类、DBSCAN 等。聚类的目的是发现数据中的自然分组或模式

虽然降维和聚类有不同的目标，但它们可以结合使用。例如，降维可以用于将高维数据投影到低维空间，从而便于进行聚类分析

8.2 t-SNE 与 UMAP

UMAP（Uniform Manifold Approximation and Projection）是另一种非线性降维方法，常用于与 t-SNE 进行比较：

基本原理：t-SNE 通过最小化高维空间和低维空间之间的概率分布差异，将高维数据嵌入到低维空间。UMAP 通过构建高维空间的邻接图，然后通过优化图嵌入，将数据投影到低维空间
应用场景：t-SNE 适用于高维数据和复杂模式识别，特别是在可视化方面效果显著。UMAP 在保持全局和局部结构方面表现更好，计算速度更快，适合处理大规模数据集
计算复杂度：t-SNE 计算复杂度较高，不适合大规模数据集。UMAP 计算复杂度较低，更适合大规模数据集