---

1 摘要

1.1 简介

文章提出了一种名为超图神经网络的框架，用于高维数据的表示学习。
该方法英文称呼为 Hypergraph Neural Networks，简写为 HGNN。

1.2 问题描述

• 传统的 GNN 是用于低维数据的表示学习的，没有办法对高维复杂数据进行建模。
• 超图可以对复杂数据进行建模，挖掘数据中的高维关系。
• 但是对超图进行表示学习，这仍没有解决方案。

因此，文章作者提出了 HGNN 方法/框架来解决这一问题。

2 超图

2.1 图和超图对比

图和超图最大的区别在于：图中边的度为 2，而超图中边的度可以是任意值（原文说了一个词，特别好：degree-free）。

文章中给出了一个示例：

上面部分，是一个图（Graph），下面部分是这个图对应的邻接矩阵（adjacency matrix）。

补充：帮助忘记怎么得到邻接矩阵的小伙伴回忆一下，加深印象。

• 图中的圆圈表示顶点，不同的颜色对不同的顶点加以区分；短线表示边，不同的颜色对不同的边加以区分。图中共有 8 个顶点，记为 { n 1 , n 2 , n 3 , … , n 8 } \{n_1,n_2,n_3, \dots, n_8\} {n1​,n2​,n3​,…,n8​}；共有 6 条边。
• 每个顶点，如 $n_1$，可以连接其他 7 个顶点以及自身，共 8 个顶点。将顶点 $n_1$ 连接其他顶点的情况排成一行，那么 8 个顶点连接情况就是 8 行，因此就组成了 8 行 8 列的矩阵（8*8）。
• 如果顶点 $n_i$ 和顶点 $n_j$ 相连，那么邻接矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列位置 $(i,j)$ 上的元素值应该为 1；否则为 0。（前提：所有的顶点按顺序排列。）
• 这个矩阵的第一行第一个元素表示顶点 $n_1$ 连接顶点 $n_1$ 的情况，第一行的第二个元素表示顶点 $n_1$ 连接顶点 $n_2$ 的情况；其余的以此类推。
• 观察图，$n_1$（蓝色）连接了 $n_5$（灰色）和 $n_6$（青色），因此第一行的第五个元素、第六个元素值应该为 1，第一行的其他位置元素值为 0。矩阵的其他位置的值，采取同样的策略赋值。
• 对于无向图，邻接矩阵是对称的；对于有向图，邻接矩阵一般不对称。

原文中说有多组超边（Hyperedge group 1/2/3/…/N），我理解的应该多种输入数据的形式。

观察上面这个超图，顶点和上面图中的顶点，是一模一样的。常用 $V$ 表示顶点集合，由此 V = { n 1 , n 2 , … , n 8 } V=\{n_1,n_2,\dots, n_8\} V={n1​,n2​,…,n8​}。超边和图中的边就稍微有些不同了。上面提到，图中有 6 条边，颜色对边进行了区分。超图这里也是用颜色对超边进行了区分。

补充：作者牛逼。这图的审美，真的太棒了。

好了，话说回来，不同的超边使用了不同的颜色。超图中有三种颜色的超边，黑色、红色、深绿色，分别用符号 $e_1$、$e_2$、$e_3$ 来表示。

构建关联矩阵（incidence matrix）：行表示顶点，8 个顶点，$n_1$、$n_2$、$\dots$、$n_8$；列表示超边，3 条超边，$e_1$、$e_2$、$e_3$。如果某一个顶点属于某一条超边，则关联矩阵对应位置的值为 1；否则为 0。

• 超边 $e_1$ 包含顶点 $n_2$、$n_4$、$n_8$，所以 $(n_2,e_1)$、$(n_4,e_1)$、$(n_8,e_1)$ 位置上的值为 1，$e_1$ 列其他位置上的值为 0。
• 超边 $e_2$ 包含顶点 $n_1$、$n_6$、$n_7$，所以 $(n_1,e_2)$、$(n_6,e_2)$、$(n_7,e_2)$ 位置上的值为 1，$e_2$ 列其他位置上的值为 0。
• 超边 $e_3$ 包含顶点 $n_3$、$n_5$、$n_7$，所以 $(n_3,e_3)$、$(n_5,e_3)$、$(n_7,e_3)$ 位置上的值为 1，$e_3$ 列其他位置上的值为 0。
• 不知道大家发现没有，顶点 $n_7$ 在两条超边 $e_2$、$e_3$ 都存在。

同理，可以得到第 $N$ 种数据形式下的关联矩阵 $H_N$。

然后将这 $N$ 个关联矩阵 { H 1 , H 2 , … , H N } \{H_1, H_2, \dots, H_N\} {H1​,H2​,…,HN​} 拼接起来，得到了最后的 $H$。也即是说：
$$H=\bigcup _{i=1}^N{H}_i.$$

解读：一般的数据超图只有一个，也即是说只有一个 $H$。而论文中提到了 $N$ 个 $H_i$ 进行拼接得到一个 $H$，应该是为了更好地利用多模态的数据。即考虑了多种数据的形式。

参考

1. Y. Feng, H. You, Z. Zhang, R. Ji et.al. Hypergraph neural networks. In Proceedings of the AAAI conference on artificial intelligence, 2019 (Vol. 33, No. 01, pp. 3558-3565).