DeepSORT（目标跟踪算法）卡尔曼滤波中的贝叶斯定理

flyfish

从例子中介绍名词

假设我们有一个袋子，里面有5个红球和3个蓝球。我们从袋子里随机抽取一个球。

概率 (Probability)

我们想计算从袋子里抽到红球的概率 $P(R)$。

红球的数量是5，球的总数量是8，所以抽到红球的概率是：
$$P(R)=\frac{5}{8}$$

条件概率 (Conditional Probability)

条件概率是指在已知某事件 $B$ 发生的情况下，另一个事件 $A$ 发生的概率。用符号 $P(A\mid B)$ 表示。

公式

条件概率的公式为：
$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$
前提是 $P(B)>0$。

这里：

• $P(A\mid B)$ 是在 $B$ 发生的情况下 $A$ 发生的概率。
• $P(A\cap B)$ 是事件 $A$ 和 $B$ 同时发生的概率。
• $P(B)$ 是事件 $B$ 发生的概率。

联合概率 (Joint Probability)

联合概率是指两个或多个事件同时发生的概率。用符号 $P(A\cap B)$ 或 $P(A,B)$ 表示。

公式

联合概率可以用条件概率和边缘概率的乘积表示：
$P(A\cap B)=P(A\mid B)\cdot P(B)$
或
$P(A\cap B)=P(B\mid A)\cdot P(A)$

示例

假设我们有一个包含红球和蓝球的袋子。已知袋子中有5个红球和3个蓝球。我们从袋子里随机抽取两个球，并且不放回。

联合概率

我们要计算第一次抽到红球 $A$ 和第二次也抽到红球 $B$ 的联合概率。

1. 第一次抽到红球 $P(A)$：
   $P(A)=\frac{5}{8}$
2. 在第一次已经抽到红球的情况下，第二次再抽到红球的条件概率 $P(B\mid A)$：
   $P(B\mid A)=\frac{4}{7}$
   因此，联合概率 $P(A\cap B)$ 为：
   $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=\frac{5}{8}\cdot \frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}$

条件概率

假设我们知道第一次抽到了红球 $A$，我们想知道在这种情况下第二次也抽到红球 $B$ 的概率：
$$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{5}{14}}{\frac{5}{8}}=\frac{4}{7}$$

似然 (Likelihood)

假设我们做了一次试验，从袋子里抽到了一个红球。我们想知道这个观察结果在给定红球数量为5、蓝球数量为3的情况下的似然。

在这个简单例子中，似然实际上就是红球的概率，即：
$$L(\theta \mid \text{Red observed})=P(\text{Red observed}\mid \theta )=P(R)=\frac{5}{8}$$
在这个例子中，观测数据是 “抽到红球”，模型参数是 θ = { 5 个红球 , 3 个蓝球 } \theta = \{5 \text{个红球}, 3 \text{个蓝球}\} θ={5个红球,3个蓝球}。因此：
$L(\theta \mid \text{Red observed})=P(\text{Red}\mid \theta )=\frac{5}{8}$

所以，似然函数的值在这个具体例子中等于抽到红球的概率。直观地讲，我们在已知袋子里球的分布情况下，观测到红球的可能性就是从袋子里抽到红球的概率。这个例子中的似然实际上就是红球的概率，因为我们已经知道袋子里球的数量和类型。

更复杂的情况

在更复杂的情况下，似然函数用于评估不同模型参数的好坏。例如，如果我们不知道袋子里红球和蓝球的数量，通过多次抽取球的结果（观测数据），我们可以估计袋子里红球和蓝球的比例。在这种情况下，似然函数帮助我们找到最适合观测数据的模型参数。
通过一个具体的例子来演示如何使用似然函数来估计模型参数。

示例场景

假设我们有一个袋子，但不知道里面红球和蓝球的具体数量。我们随机从袋子里抽取了10次球，并记录了结果。假设我们观察到以下数据：

• 红球：7次
• 蓝球：3次
  我们的目标是估计袋子里红球的比例 $p$（红球占总球数的比例）。

似然函数

设袋子中红球的比例为 $p$，蓝球的比例为 $1-p$。根据二项分布，抽到 $k$ 次红球的概率为：
$$P(\text{Red}=k\mid p)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$$

其中：

• $n$ 是抽取的总次数（这里 $n=10$）
• $k$ 是红球的次数（这里 $k=7$）

计算似然

我们要计算在不同 $p$ 值下观测到7次红球的似然。

似然函数 $L(p\mid \text{data})$ 定义为：
$L(p\mid \text{data})=P(\text{data}\mid p)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{7}\right)p^7(1-p{)}^3$

具体计算

1. 计算组合数：
   $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{7}\right)=\frac{10!}{7!(10-7)!}=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$$
2. 似然函数：
   $$L(p\mid \text{data})=120\cdot p^7\cdot (1-p{)}^3$$

找到最大似然估计 (Maximum Likelihood Estimation, MLE)

为了找到最适合观测数据的 $p$，我们需要最大化似然函数。我们可以通过求导数并找到极值点来实现这一目标。

1. 似然函数的对数形式（对数似然）更方便处理：
   $$\log L(p\mid \text{data})=\log (120)+7\log (p)+3\log (1-p)$$
2. 对对数似然函数求导并求解使导数为0的 $p$ 值：
   $$\frac{d}{dp}\log L(p\mid \text{data})=\frac{7}{p}-\frac{3}{1-p}$$
   设置导数为0并求解：
   $\frac{7}{p}=\frac{3}{1-p}$
   $7(1-p)=3p$
   $7-7p=3p$
   $7=10p$
   $p=\frac{7}{10}=0.7$

因此，观测到7次红球和3次蓝球的数据下，红球比例 $p$ 的最大似然估计为0.7。

不发生的概率

符号 $\neg$ 表示逻辑上的“非”或“否定”，即取反的意思。
$P(\neg A)$ 表示事件 $A$ 不发生的概率。如果 $A$ 是某个事件，那么 $\neg A$ 就是 $A$ 的补事件，或者说 $A$ 不发生的事件。

具体解释

• $P(A)$：事件 $A$ 发生的概率。
• $P(\neg A)$：事件 $A$ 不发生的概率。
  在概率论中，如果事件 $A$ 和事件 $\neg A$ 是互斥且穷尽的（即两者覆盖了所有可能性），则它们的概率和为 1：

$P(A)+P(\neg A)=1$

因此，如果你知道事件 $A$ 发生的概率 $P(A)$，你可以很容易地计算出事件 $A$ 不发生的概率 $P(\neg A)$：

$P(\neg A)=1-P(A)$

先验估计是预测阶段的估计，而后验估计是更新阶段的估计。

1. 先验估计（Prior Estimate）：

• 定义：先验估计是指在当前时刻没有结合最新观测数据前的系统状态估计。它是基于上一时刻的后验估计和系统的状态转移模型得到的。
• 符号：通常用 ${\hat{x}}_{k|k-1}$ 表示，其中 $k$ 表示当前时刻，$k-1$ 表示上一时刻。
• 计算：根据系统的状态转移方程进行预测，即：
  ${\hat{x}}_{k|k-1}=A_{k-1}{\hat{x}}_{k-1|k-1}+B_{k-1}{u}_{k-1}$
  其中，${\hat{x}}_{k-1|k-1}$ 是上一时刻的后验估计，$A_{k-1}$ 是状态转移矩阵，$B_{k-1}$ 是控制输入矩阵，$u_{k-1}$ 是控制输入。

2. 后验估计（Posterior Estimate）：

• 定义：后验估计是指在结合当前时刻的观测数据后，对系统状态的更新估计。它是对先验估计进行修正得到的。
• 符号：通常用 ${\hat{x}}_{k|k}$ 表示，表示结合了第 $k$ 时刻的观测数据后的状态估计。
• 计算：根据卡尔曼增益（Kalman Gain）和观测更新方程进行修正，即：
  ${\hat{x}}_{k|k}={\hat{x}}_{k|k-1}+K_k(z_k-H_k{\hat{x}}_{k|k-1})$
  其中，$K_k$ 是卡尔曼增益，$z_k$ 是当前时刻的观测数据，$H_k$ 是观测矩阵。
  通过上述过程，卡尔曼滤波器能够不断地利用新观测数据修正系统状态估计，从而提供一个更加准确的状态估计。

贝叶斯定理是概率论中的一个基本定理，用于描述在给定某些条件（证据）的情况下，如何更新对事件的概率估计。它的基本形式是：

$$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}$$

在这个公式中，每个符号都有特定的含义：

• $P(A|B)$：在条件 $B$ 发生的情况下，事件 $A$ 发生的概率。这被称为 后验概率（Posterior Probability）。
• $P(B|A)$：在条件 $A$ 发生的情况下，事件 $B$ 发生的概率。这被称为 似然（Likelihood）。
• $P(A)$：事件 $A$ 发生的概率，不考虑任何条件。这被称为 先验概率（Prior Probability）。
• $P(B)$：事件 $B$ 发生的概率，不考虑条件 $A$ 是否发生。这被称为 边际概率（Marginal Probability），也可以看作是一个归一化常数，确保概率总和为 1。

通俗理解

假设你每天早晨都要预测一天的天气情况，你可以这样做：

1. 先验估计（Prior Estimate）：

• 你看了昨晚的天气预报，预报说今天会晴天。于是，你一早起床就预测今天会是晴天。这就是你的先验估计，即基于已有的信息（昨天的预报）对今天天气的预测。

2. 后验估计（Posterior Estimate）：

• 你打开窗户，看到了外面的实际天气。假如你看到天空阴云密布，显然今天的天气和昨晚的预报有差异。于是，你修正了你的天气预测，认为今天可能会下雨。这时，你结合了新的观测数据（看到的阴天）来更新你的预测。这就是你的后验估计，即结合新信息（实际观察）后对天气的更新预测。

贝叶斯定理的直观理解

贝叶斯定理可以帮助我们在得到新信息（证据）后，更新对某个事件发生概率的估计。简单来说，贝叶斯定理是如何利用现有的知识（先验概率）和新得到的信息（似然）来更新我们的认知（后验概率）。

贝叶斯定理的应用

贝叶斯定理的形式是：

$$P(x_k|z_{1:k})=\frac{P(z_k|x_k)P(x_k|z_{1:k-1})}{P(z_k|z_{1:k-1})}$$

在卡尔曼滤波中，状态 $x_k$ 和观测 $z_k$ 都被假设为高斯分布。我们通过这个假设来简化贝叶斯定理的应用。

符号解释

1. $P(x_k|z_{1:k})$：

• 表示在时刻 $k$ 观测到 $z_{1:k}$ 后，状态 $x_k$ 的后验概率分布。这个是我们希望计算和更新的目标，即根据所有观测数据（从时刻 1 到时刻 $k$）来更新当前状态的估计。

2. $P(z_k|x_k)$：

• 表示在给定当前状态 $x_k$ 的条件下，观测到 $z_k$ 的概率（似然）。这反映了当前状态 $x_k$ 如何生成观测值 $z_k$，通常由观测模型来描述。

3. $P(x_k|z_{1:k-1})$：

• 表示在给定之前所有观测数据 $z_{1:k-1}$ 的条件下，当前状态 $x_k$ 的先验概率分布。这个是通过状态转移模型从上一个时刻的后验概率分布预测得到的。

4. $P(z_k|z_{1:k-1})$：

• 表示在给定之前所有观测数据 $z_{1:k-1}$ 的条件下，观测到 $z_k$ 的概率（边际概率）。这个值用来归一化分子部分，使得后验概率分布的总概率为 1。

具体说明

先验概率 $P(x_k|z_{1:k-1})$

• 解释：在时刻 $k$ 之前的所有观测数据 $z_{1:k-1}$ 已知的情况下，对时刻 $k$ 的状态 $x_k$ 进行预测。
• 来源：通常通过状态转移模型 $f$ 预测得到：
  $P(x_k|z_{1:k-1})\sim \mathcal{N}({\hat{x}}_{k|k-1},P_{k|k-1})$
  其中 ${\hat{x}}_{k|k-1}$ 和 $P_{k|k-1}$ 是先验均值和协方差矩阵。

似然 $P(z_k|x_k)$

• 解释：在给定当前状态 $x_k$ 的条件下，观测到 $z_k$ 的概率。
• 来源：通常通过观测模型 $h$ 得到：
  $P(z_k|x_k)\sim \mathcal{N}(H{\hat{x}}_k,R)$
  其中 $H$ 是观测矩阵，$R$ 是观测噪声协方差矩阵。

边际概率 $P(z_k|z_{1:k-1})$

• 解释：在给定之前所有观测数据 $z_{1:k-1}$ 的情况下，观测到 $z_k$ 的概率。这个概率确保分母是一个归一化常数，使得后验概率分布的总和为 1。
• 来源：通过积分计算得到：
  $P(z_k|z_{1:k-1})=\int P(z_k|x_k)P(x_k|z_{1:k-1})d{x}_k$

后验概率 $P(x_k|z_{1:k})$

• 解释：在给定所有观测数据 $z_{1:k}$ 的情况下，当前状态 $x_k$ 的概率分布。
• 来源：利用贝叶斯定理，将先验概率和似然结合，并归一化：
  $P(x_k|z_{1:k})\sim \mathcal{N}({\hat{x}}_{k|k},P_{k|k})$
  其中 ${\hat{x}}_{k|k}$ 和 $P_{k|k}$ 是更新后的后验均值和协方差矩阵。

使用 Python 绘制贝叶斯更新过程

我们可以使用 Python 来模拟贝叶斯更新过程，并可视化后验分布的变化。以下是一个简单的 Python 代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

# 定义先验
mu_prior = 0
sigma_prior = 1
x = np.linspace(-5, 5, 1000)
prior = norm.pdf(x, mu_prior, sigma_prior)

# 定义观测模型（似然）
mu_likelihood = 1
sigma_likelihood = 0.5
likelihood = norm.pdf(x, mu_likelihood, sigma_likelihood)

# 计算后验（使用贝叶斯定理）
posterior = likelihood * prior
posterior /= np.trapz(posterior, x)  # 归一化

# 绘制结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, prior, label='Prior')
plt.plot(x, likelihood, label='Likelihood')
plt.plot(x, posterior, label='Posterior')
plt.xlabel('State')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.title('Bayesian Update of Probability Distribution')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

解释

• 先验分布（Prior）：假设先验均值为 0，标准差为 1 的高斯分布。
• 似然分布（Likelihood）：假设似然均值为 1，标准差为 0.5 的高斯分布。
• 后验分布（Posterior）：通过贝叶斯定理将先验和似然结合，并归一化得到后验分布。

贝叶斯定理在卡尔曼滤波中的应用，通过高斯分布假设，先验和似然分布的联合分布也是高斯分布。后验分布的均值和协方差可以通过条件高斯分布的性质得到，最终简化为卡尔曼滤波的更新公式。卡尔曼增益 ( K_k ) 确定了先验估计和观测数据的加权比例，后验状态估计和协方差更新则通过结合先验和观测数据，反映了状态估计的不确定性减少。