[NOIP2002 普及组] 过河卒

题目描述

棋盘上 $A$ 点有一个过河卒，需要走到目标 $B$ 点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上 $C$ 点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马拦过河卒”。

棋盘用坐标表示，$A$ 点 $(0,0)$、$B$ 点 $(n,m)$，同样马的位置坐标是需要给出的。

现在要求你计算出卒从 $A$ 点能够到达 $B$ 点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并不是卒走一步马走一步。

输入格式

一行四个正整数，分别表示 $B$ 点坐标和马的坐标。

输出格式

一个整数，表示所有的路径条数。

样例 #1

样例输入 #1

6 6 3 3

样例输出 #1

6

提示

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n,m\le 20$，$0\le$ 马的坐标 $\le 20$。

【题目来源】

NOIP 2002 普及组第四题

正解

非常经典的二维 dp。

一、状态：因为马最多走一步，所以先用一个数组 $vis[i][j]$ 表示 $(i,j)$ 能不能走，再用 $dp[i][j]$ 表示走到 $(0,0)$ 有多少种走法。

二、转移：分两步：

1. 先将 $vis$ 数组确定好，和 dfs/bfs 的思想一样，定义两个数组 $fx[8]=[-2,-2,-1,-1,1,1,2,2];fy[8]=[-1,1,-2,2,-2,2,-1,1];$，然后遍历 $i=0$ 到 $7$，进行数组标记；

2. 然后处理 $dp$ 数组，初始化为 $dp[0][0]=1$。然后遍历所有的点，要么是 $dp[i][j]$ 加上 $dp[i-1][j]$，或者是加上 $dp[i][j-1]$。

三、答案：走到 $(n,m)$，所以答案是 $dp[n][m]$。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int a,b,c,d;
int vis[30][30],dp[30][30];

const int fx[8] = {-2,-2,-1,-1,1,1,2,2};
const int fy[8] = {-1,1,-2,2,-2,2,-1,1};

void solve()
{
	cin >> a >> b >> c >> d;
	vis[c][d] = 1;
	for (int i = 0;i < 8;i++)
		if (c+fx[i] >= 0 && c+fx[i] <= a && d+fy[i] >= 0 && d+fy[i] <= b)
			vis[c+fx[i]][d+fy[i]] = 1;
	dp[0][0] = 1;
	for (int i = 0;i <= a;i++)
		for (int j = 0;j <= b;j++)
			if (!vis[i][j])
			{
				if (i) dp[i][j] += dp[i-1][j];
				if (j) dp[i][j] += dp[i][j-1];
			}
	cout << dp[a][b];
}

signed main()
{
	solve();
	printf("\n");
	return 0;
}