动态规划-简单多状态dp问题 – 按摩师

题目重现

题目链接：按摩师 - 力扣

一个有名的按摩师会收到源源不断的预约请求，每个预约都可以选择接或不接。在每次预约服务之间要有休息时间，因此她不能接受相邻的预约。给定一个预约请求序列，替按摩师找到最优的预约集合（总预约时间最长），返回总的分钟数。

示例 1：

输入： [1,2,3,1]
输出： 4
解释： 选择 1 号预约和 3 号预约，总时长 = 1 + 3 = 4。

示例 2：

输入： [2,7,9,3,1]
输出： 12
解释： 选择 1 号预约、 3 号预约和 5 号预约，总时长 = 2 + 9 + 1 = 12。

示例 3：

输入： [2,1,4,5,3,1,1,3]
输出： 12
解释： 选择 1 号预约、 3 号预约、 5 号预约和 8 号预约，总时长 = 2 + 4 + 3 + 3 = 12。

算法流程

1.状态表示

这里我们选用较为常用的方式：以某个位置为结尾，定义一个状态表示：

dp[i] 表示：选择到 i 位置时，此时的最长预约时长

但是该题中我们对于每个 i 位置都有 “选择” 和 “不选择” 两种方案，所以对 dp[i] 进行细分为 f[i] 和 g[i] ：

• f[i] 表示：选择到 i 位置时，nums[i] 被选择，此时的最长预约时长
• g[i] 表示：选择到 i 位置时，nums[i] 不被选，此时的最长预约时长

2.状态转移方程

由于往常状态表示只有一个，状态转移方程也只有一个，但是如今有两个状态表示 f 和 g，所以状态转移方程应当也有两个：

对于 f[i]：

• 如果 nums[i] 被选择，那么 nums[i - 1] 就必然没有被选择，因为被选中的元素所在位置不能是相邻的。那么 g[i - 1] 刚好表示 i - 1 位置未被选择情况下，截止 i - 1 位置最长的预约时长。从而该位置被选择的情况下，相应的 f[i] = g[i - 1] + nums[i]

对于 g[i]：

• 如果 nums[i] 没有被选择，那么 nums[i - 1] 就存在两种可能，即被选和未被选两种。对于 i 位置而言，仅考虑 i - 1 位置对应的最长时长，而不是 i - 1 位置是否被选中，所以 g[i] = max(f[i - 1], g[i - 1])

3.初始化

既然我们已经得到对于每个 i 位置的状态转移方程，那么我们就不难看出每个 i 节点的状态 f[i] 和 g[i] 都离不开 i - 1 位置的状态值。所以我们结合题意和状态表示，给出 i = 0 位置的初始化：

• f[0] = nums[0]
• g[0] = 0

4.填表顺序

通过 < 3.初始化 > 中的描述得知，填表顺序为：

从左往右，两表同填

5.返回值

根据状态表示，i 位置对应的值即为最长预约时间，又因为其有两种状态（被选择和未被选），所以返回值为：

max(f[n - 1], g[n - 1])

示例代码

class Solution {
public:
    int massage(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        if(n == 0) { return 0; }
        vector<int> f(n);   // 选nums[i], 最大分钟数
        auto g = f;   // 不选nums[i], 最大分钟数

        f[0] = nums[0];
        g[0] = 0;

        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            f[i] = g[i - 1] + nums[i];
            g[i] = max(f[i - 1], g[i - 1]);
        }

        return max(f[n - 1], g[n - 1]);
    }
};

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