本文的主要内容来自于文献[1]，总的来说这篇文献给我的感觉就是理论证明非常精妙，最后的实际效果也是提升的非常明显。

在Introduction中作者给出了一般Best first search（BFS，常用的包括A *，weighted A * ，Focal search（$A_{\epsilon }^{\ast }$），Dynamical Potential search （DPS）和 Bounded suboptimal search（BSS）等在内）的通用框架如下：

一般来说作为weighted A * 的改进型算法一般都能保证$w$-optimality，即算法所搜索到的路径代价不超过$w{C}^{\ast }$，其中$C^{\ast }$是一个optimal的路径代价。作者主要的改进在于设计了一种相比于原有启发式函数$f(n)$的新的启发式函数$\Phi (h(n),g(n))$用于BFS搜索，避免了open表中结点的重复查找（reopenings），并从理论上证明了该启发式函数的$w$-optimality性能。

关于为啥要减少open表中的重复查找呢？作者认为主要是在open表中进行结点的重复查找可能会导致一个大的时间复杂度$O(N^2)$，尤其是当状态结点$N$的个数非常大的时候，这可能会导致寻路成本的增加。

全文的主体思路是通过给出了一类$\Phi (h(n),g(n))$函数能保证$w$-optimality的条件，并加以证明。说明了直接在采用这个函数的情况下，可以避免reopenings。对于$f(n)=h(n)+wg(n)$ 来说，算法由于常权重$w$，在起终时刻始终保证固定的$w$-optimality；而对于$\Phi (h(n),g(n))$，算法同样也可以保证最终代价的$w$-optimality，但是在open表搜索过程中的代价却可以不为$w$-optimality。

$w$-optimality的相关条件

在证明$\Phi (h(n),g(n))$的$w$-optimality之前，作者首先证明了在finite state space中，对于任意priority function $\Phi$在不用re-open的情况下，采用BFS搜索都可以保证完备性(complete，即从起点start到goal如果存在路径，BFS总能找到一条合适的路径)，证明见Lemma1：

在说明了完备性的情况下，作者首先给出了$\Phi (h(n),g(n))$函数应当具有的4条性质：
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial \Phi }{\partial x}>0,\frac{\partial \Phi }{\partial y}>0\\ \frac{\partial \Phi }{\partial y}\le \frac{\partial \Phi }{\partial x}\\ \Phi (0,wt)=\Phi (t,0)=t\\ \frac{\partial \Phi }{\partial x}+\frac{\partial \Phi }{\partial y}\le 2\end{array}$$
另外，作者还给出了$\Phi$-inequality的定义：$\Phi (h(p),g(p))\le \Phi (0,w(h(p)+g^{\ast }(p)))=\Phi (h(p)+g^{\ast }(p),0)$（原文中Definition 1 ）。在上面4条性质和1个定义的基础上，作者首先证明了：

（Theorem 2）对于满足性质1的函数$\Phi$，在搜索过程中，如果对于每个第一次扩展的状态结点$p$都有$\Phi$-inequality成立，那么搜索出的路径具有$w$-optimality性质，且没必要进行re-open（或者说re-expand）。

Proof. 首先由Lemma1，我们知道一定可以扩展出一条以代价$g(goal)$到goal的路径，那么对于目标状态$goal$而言，由$\Phi$-inequality不等式：
$$\begin{gathered} \Phi (h(goal),g(goal))=\Phi (0,g(goal)) \\ \le \Phi (0,w(h(goal)+g^{\ast }(goal))) \\ =\Phi (0,w{g}^{\ast }(goal)) \end{gathered}$$
由于性质1说明了$\Phi (h(n),g(n))$对于$g$的单调递增性，因此$g(goal)\le w{g}^{\ast }(goal)$，说明最后的搜索路径具有$w$-optimality性质。

对于这个不用re-open的说明，我实在没看懂，希望后面能有机会再看看。

下面给出Deepl机翻的结果：

因此，我们只需证明 Φ-inequality 对每个以给定优先级函数展开的状态都成立。图 4(b) 是证明这一点的高级方法。假设我们计划扩展一个状态 q，其中 p 是通往 q 的最优路径上扩展的最后一个状态。与之前一样，p 下方的蓝色点代表通往 p 的最优路径，(a) 处的曲线是该点的隔离线。根据 Φ-inequality 我们可以知道，p 在（a）点开始的隔离线之下。因此，如果搜索以最优方式从 p 移动到 q，那么 q（以及从 p 到 q 的最优路径上的所有状态）仍应位于 h 轴上 (b) 点的 h(q) + g∗(q) 分割线之下，因为最优路径不会积累任何额外的次优状态。如果这一点成立，那么总有至少一条路径（最优路径的剩余部分）可以在最优约束下达到目标，而无需重新扩展先前扩展的状态。虽然在实践中搜索可能会扩展出一条不那么理想的路径，但所探索的路径仍能保证在 Φ 允许的范围内。

因此，对于Theorem 2而言，如果我们能证明在满足某些性质的条件下，对于每个第一次扩展的状态结点$p$都有$\Phi$-inequality成立，哪么根据Theorem 2的结论，$w$-optimality和不需要re-open的性质就能得到满足。下面的Theorem 8给出了$\Phi$所需要满足的条件：

（Theorem 8）假设BFS所采用的优先级函数$\Phi$满足性质1-4，哪么对于所有的扩展结点都有$\Phi$-inequality成立。

Proof. 首先需要不加证明（证明见原论文）的给出以下引理作为证明条件，

Lemma 3. 对于$p$的后继（descendant）结点$q$而言，其在$h$-$g$坐标系下分别为$(h(p),g(p))$和$(h(q),g(p)+d(p,q))$。对于任意从$p$到$q$上位于optimal path上的中间结点$p_1$，其必位于$p$和$q$所处的矩形对角点上，如Figure 4(b)所示。

根据原文中Definition 2中定义的最右角点$(x_r,y_r)$：
$$\{\begin{array}{l}{x}_r=h(p)+\frac{d(p,q)+h(q)-h(p)}{2}\\ y_r=g(p)+\frac{d(p,q)+h(q)-h(p)}{2}\end{array}$$
原文Lemma 6说明了对于从$p$到$q$的所有在optimal path上的状态$s$，角点是使$\Phi$最大的点，即：$\Phi (h(s),g(p)+d(p,s))\le \Phi (x_r,y_r)$。

另外，有Corollary 7： $\Phi (x+t,y+t)\le \Phi (x,y)+2t$。证明利用了性质4和$\Phi$的Lipschitz连续性条件。

下面进入正式的论证，采用数学归纳法证明$\Phi$-inequality的成立：

首先Base case: 对于初始状态start，必然有$\Phi (h(start),g(start))=\Phi (h(start)+g^{\ast }(start),0)$成立，因为$g(start)=g^{\ast }(start)=0$。

再对于Inductive step：假设对于所有已扩展的路径（expanded paths）上的结点都有$\Phi$-inequality成立，并且状态$q$是从open表中选出来的要扩展的下一个结点，我们需要证明结点$q$满足$\Phi$-inequality，即：$\Phi (h(q),g(q))\le \Phi (h(q)+g^{\ast }(q),0)$。
作为在closed表中optimal path上的，$q$的上一个结点$p$，由递推假设满足：
$$\Phi (h(p),g(p))\le \Phi (h(p)+g^{\ast }(p),0)=h(p)+g^{\ast }(p)$$ 这里必然存在一个在open表中,由$p$所扩展出的successor结点$p_x$，其位于从$p$到$q$的optimal path上，满足$\Phi (h(q),g(q))\le \Phi (h(p_x),g(p_x))$。这是因为BFS在结点扩展时会先扩展$\Phi$最小的$q$，而不是$p_x$。令$t=(d(p,q)+h(q)-h(p))/2$，根据Lemma6有：
$$\begin{gathered} \Phi (h(q),g(q))\le \Phi (h(p_x),g(p)+d(p,p_x)) \\ \le \Phi (h(p)+t,g(p)+t) \\ \le \Phi (h(p),g(p))+2t \\ =\Phi (h(p),g(p))+d(p,q)+h(q)-h(p) \\ \le g^{\ast }(p)+h(q)+d(p,q) \\ \le g^{\ast }(q)+h(q)=\Phi (g^{\ast }(q)+h(q),0) \end{gathered}$$这对$q$证明了$\Phi$-inequality的成立，因此假设成立。

上面的Theorem2和Theorem8综合起来说明了，对于满足4条性质的$\Phi (h(n),g(n))$，其能保证$w$-optimality和避免reopening。

XDP函数

XDP函数是一类特殊的$\Phi$函数${\Phi }_{XDP}(x,y)=U$，其具有$y=a{x}^2+bx+c$的二次函数形式，并且满足$\Phi$的4条性质，同时经过$(0,wU)$和$(U,0)$点。在$(U,0)$处的斜率为$-1$。得到：
$$\{\begin{array}{l}c=wU\\ a{U}^2+bU+c=0\\ 2aU+b=-1\end{array}$$解算出的：
$${\Phi }_{XDP}(x,y)=U=\frac{y+(2w-1)x+\sqrt{(y-x{)}^2+4wyx}}{2w}$$

参考文献

[1] Chen, J., Conditions for Avoiding Node Re-expansions in Bounded Suboptimal Search, in Proceedings of the . AAAI Conference on Artificial Intelligence. 2019, Proceedings of the . AAAI Conference on Artificial Intelligence.