在 3D 点云处理中，RT 矩阵是一个常用的工具，用于对点云进行旋转和平移操作。本文将详细介绍 RT 矩阵的概念，并通过一个示例程序演示如何基于 PCL 和 Eigen 库将一帧点云进行矩阵变换再输出。

本教程的示例代码和点云数据可在 GitHub 下载。

什么是 RT 矩阵

RT 矩阵包含旋转矩阵（R）和平移向量（T），组合起来可以描述一个刚体变换。具体来说，RT 矩阵是一个 4x4 的同质坐标变换矩阵，包含两个部分：

1. 旋转矩阵（R）：这是一个 3x3 的矩阵，用于描述点云的旋转。旋转矩阵是一个正交矩阵，表示绕某个轴的旋转。
2. 平移向量（T）：这是一个 3x1 的向量，用于描述点云的平移。平移向量表示在各个方向上的移动距离。

组合起来，RT 矩阵可以表示为：

           |-------> This column is the translation
    | 1 0 0 x |  \
    | 0 1 0 y |   }-> The identity 3x3 matrix (no rotation) on the left
    | 0 0 1 z |  /
    | 0 0 0 1 |    -> We do not use this line (and it has to stay 0,0,0,1)

其中，R 是 3x3 的旋转矩阵，T 是 3x1 的平移向量，右下角的 1 是为了使矩阵成为同质坐标形式的 4x4 矩阵。

旋转矩阵（R）

旋转矩阵通常可以通过欧拉角、旋转向量或四元数来计算。

欧拉角：通过绕固定轴（如 X, Y, Z 轴）依次旋转相应的角度来构建旋转矩阵。例如：

• 绕 X 轴旋转角度（ $\alpha$ ）
  $${\mathbf{R}}_{\mathbf{x}}(\alpha )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]$$

• 绕 Y 轴旋转角度（ $\beta$ ）
  $${\mathbf{R}}_{\mathbf{y}}(\beta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \beta & 0& \sin \beta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \beta & 0& \cos \beta \end{array}\right]$$

• 绕 Z 轴旋转角度（ $\gamma$ ）
  $${\mathbf{R}}_{\mathbf{z}}(\gamma )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \gamma & -\sin \gamma & 0\\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

通过将这些旋转矩阵按顺序相乘，可以得到最终的旋转矩阵 $\mathbf{R}$。

旋转向量：通过旋转轴和旋转角度来构建旋转矩阵。旋转向量表示绕一个单位向量旋转一定角度，使用 Rodrigues 公式可以将其转换为旋转矩阵。

四元数：四元数是一种表示旋转的方式，能够避免欧拉角的万向节锁问题。通过四元数转换公式可以得到旋转矩阵。

平移向量（T）

平移向量是一个简单的 3x1 向量，表示在 X, Y, Z 三个方向上的平移量：

$$\mathbf{T}=\left[\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\\ t_z\end{array}\right]$$

应用 RT 矩阵

假设有一个 3D 点 $\mathbf{P}={\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]}^T$，其同质坐标表示为 ${\mathbf{P}}_{\mathbf{h}}={\left[\begin{array}{cccc}x& y& z& 1\end{array}\right]}^T$。

应用 RT 矩阵进行变换可以表示为： ${\mathbf{P}}_{\mathbf{h}}^{\prime }=\mathbf{RT}\cdot {\mathbf{P}}_{\mathbf{h}}$ 。

其中， ${\mathbf{P}}_{\mathbf{h}}^{\prime }={\left[\begin{array}{cccc}{x}^{\prime }& y^{\prime }& z^{\prime }& 1\end{array}\right]}^T$ ，展开后为：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{R}_{11}& R_{12}& R_{13}& t_x\\ R_{21}& R_{22}& R_{23}& t_y\\ R_{31}& R_{32}& R_{33}& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

经过计算，变换后的点 ${\mathbf{P}}^{\prime }$ 的坐标为：

$${\mathbf{P}}^{\prime }=\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=\mathbf{R}\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]+\mathbf{T}$$

通过 RT 矩阵的应用，可以对一整帧点云的每一个点进行旋转和平移，从而实现点云的刚体变换。

示例程序

下面使用 PCL 库（Point Cloud Library）来实现将一帧点云经过 RT 矩阵转换输出另一帧点云，并将两帧点云同时可视化进行对比的演示。完整示例代码如下所示。

#include <pcl/point_types.h>
#include <pcl/io/pcd_io.h>
#include <pcl/visualization/pcl_visualizer.h>
#include <pcl/common/transforms.h>
#include <Eigen/Dense>
#include <thread>
#include <chrono>

int main(int argc, char** argv)
{
    // 检查命令行参数
    if (argc != 2) {
        PCL_ERROR("Usage: %s <input.pcd>\n", argv[0]);
        return -1;
    }

    // 创建点云对象并读取PCD文件
    pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>::Ptr cloud(new pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>);
    if (pcl::io::loadPCDFile<pcl::PointXYZ>(argv[1], *cloud) == -1) {
        PCL_ERROR("Couldn't read the file %s\n", argv[1]);
        return -1;
    }

    // 创建RT矩阵，将矩阵初始化为单位矩阵
    Eigen::Matrix4f transform = Eigen::Matrix4f::Identity();

    // 定义旋转矩阵 (绕Z轴旋转45度)
    float theta = M_PI / 4; // 弧度制角度
    transform(0, 0) = cos(theta);
    transform(0, 1) = -sin(theta);
    transform(1, 0) = sin(theta);
    transform(1, 1) = cos(theta);

    // 定义平移向量 (平移 x 方向2.5米, y 方向0米, z 方向1米)
    transform(0, 3) = 2.5;
    transform(1, 3) = 0.0;
    transform(2, 3) = 1.0;

    // 创建变换后的点云
    pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>::Ptr transformed_cloud(new pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>);
    pcl::transformPointCloud(*cloud, *transformed_cloud, transform);

    // 创建可视化对象
    pcl::visualization::PCLVisualizer::Ptr viewer(new pcl::visualization::PCLVisualizer("3D Viewer"));
    viewer->setBackgroundColor(0, 0, 0);

    // 设置原始点云的颜色为白色
    pcl::visualization::PointCloudColorHandlerCustom<pcl::PointXYZ> original_color(cloud, 255, 255, 255);
    viewer->addPointCloud<pcl::PointXYZ>(cloud, original_color, "original cloud");

    // 设置变换后点云的颜色为红色
    pcl::visualization::PointCloudColorHandlerCustom<pcl::PointXYZ> transformed_color(transformed_cloud, 255, 0, 0);
    viewer->addPointCloud<pcl::PointXYZ>(transformed_cloud, transformed_color, "transformed cloud");

    // 设置点云大小
    viewer->setPointCloudRenderingProperties(pcl::visualization::PCL_VISUALIZER_POINT_SIZE, 1, "original cloud");
    viewer->setPointCloudRenderingProperties(pcl::visualization::PCL_VISUALIZER_POINT_SIZE, 1, "transformed cloud");

    // 添加坐标系
    viewer->addCoordinateSystem(1.0);
    viewer->initCameraParameters();

    // 开始可视化
    while (!viewer->wasStopped()) {
        viewer->spinOnce(100);
        std::this_thread::sleep_for(std::chrono::milliseconds(100));
    }

    return 0;
}

改程序依赖 PCL 库和 VTK 库，配套 CMakeLists.txt 文件如下：

cmake_minimum_required(VERSION 3.1)
project(transform_demo)

find_package(PCL REQUIRED)
find_package(VTK REQUIRED)

include_directories(${PCL_INCLUDE_DIRS})
link_directories(${PCL_LIBRARY_DIRS})
add_definitions(${PCL_DEFINITIONS})

add_executable(${PROJECT_NAME} transform_demo.cpp)
target_link_libraries(${PROJECT_NAME} ${PCL_LIBRARIES} ${VTK_LIBRARIES})

依次执行以下命令编译源代码：

$ mkdir build && cd build
$ cmake ..
$ make

编译完成后，执行 transform_demo 演示程序，指定 PCD 文件：

$ ./transform_demo ../data/2024-04-09-22-06-07.pcd

输出结果如下：

可以看到，白色为原始点云，红色为经过旋转、平移后的点云。

小结

矩阵变换是点云处理中的一个重要的工具，本文介绍了 RT 矩阵的基本概念和计算方法，RT 矩阵可用于对 3D 点云进行旋转和平移操作。我们通过一个例子演示了如何通过 PCL 和 Eigen 构建 RT 矩阵并实现 3D 点云的旋转平移，相信你已经掌握点云的矩阵变换操作。

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