一维数组

以一维数组A[0...n-1]为例，其存储结构关系式为

$$\mathrm{LOC}\left(a_i\right)=\mathrm{LOC}\left(a_0\right)+i\times L(0⩽i<n)$$

其中$L$是每个数组元素所占的存储单元。

若以一维数组A[1...n]为例，其存储结构关系式为

$$\mathrm{LOC}\left(a_i\right)=\mathrm{LOC}\left(a_0\right)+(i-1)\times L(1⩽i⩽n)$$

其中$L$是每个数组元素所占的存储单元。

二维数组

对于多维数组，有两种映射方法：按行优先和按列优先。以二维数组为例，设二维数组的行下标与列下标的范围分别为$[0,h_1]$与$[0,h_2]$。

• 按行优先的存储结构式为：$\mathrm{LOC}\left(a_{i,j}\right)=\mathrm{LOC}\left(a_{0,0}\right)+\left[i\times \left(h_2+1\right)+j\right]\times L$
  
• 按列优先的存储结构式为：$\mathrm{LOC}\left(a_{i,j}\right)=\mathrm{LOC}\left(a_{0,0}\right)+\left[j\times \left(h_1+1\right)+i\right]\times L$

特殊矩阵

对称矩阵

对一个$n$阶矩阵$A$中的任意一个元素$a_{i,j}$都有$a_{i,j}=a_{j,i}(1\le i,j\le n)$，则称为对称矩阵。若仍采用二维数组存放，则会浪费几乎一半的空间，为此将$n$阶对称矩阵$A$存放在一维数组$B[n(n+1)/2]$中。

三角矩阵

下三角矩阵中，上三角区的所有元素均为同一常量。其存储思想与对称矩阵类似，不同之处在于存储完下三角区和主对角线上的元素之后，紧接着存储对角线上方的常量一次，所以可以将$n$阶下三角矩阵$A$压缩存储在$B[n(n+1)/2+1]$中。

在数组$B$中，位于元素$a_{i,j}(i\ge j)$前面的元素个数为

第1行：1个元素
第2行：2个元素
……
第$i-1$行：$i-1$个元素
第$i$行：$j$个元素

故元素$a_{i,j}$在数组$B$中的下标（-1的目的是下标从0开始）
$$k=1+2+\dots \dots (i-1)+j-1=\frac{(1+(i-1))(i-1)}{2}+j-1=\frac{(i-1)i}{2}+j-1$$

元素下标之间的对应关系为

$$k=\{\begin{array}{ll}\frac{i(i-1)}{2}+j-1,& i⩾j\\ \frac{n(n+1)}{2},& i<j\end{array}$$

上三角矩阵中，下三角区的所有元素均为同一常量。只需存储主对角线、上三角区上的元素和下三角区的常量一次，可将其压缩存储在$B[n(n+1)/2+1]$中。

在数组$B$中，位于元素$a_{i,j}(i\le j)$前面的元素个数为

第1行：$n$个元素
第2行：$n-1$个元素
……
第$i-1$行：$n-i+2$个元素
第$i$行：$j-i+1$个元素($a_{i,i}$开始到第$a_{i,j}$该行一共有$j-i+1$个元素)

故元素$a_{i,j}$在数组$B$中的下标（-1的目的是下标从0开始）
$$k=n+(n-1)+\dots \dots +(n-i+2)+(j-i+1)-1=\frac{(n+(n-i+2))(i-1)}{2}+j-i=\frac{(2n-i+2)(i-1)}{2}+j-i$$

元素下标之间的对应关系为

$$k=\{\begin{array}{ll}\frac{(2n-i+2)(i-1)}{2}+j-i,& i⩽j\\ \frac{n(n+1)}{2},& i>j\end{array}$$

三对角矩阵

对角矩阵也称带状矩阵。对$n$阶矩阵$A$中的任意一个元素$a$,当$|i-j|>1$时，若有$a_{i,j}=0(1\le i,j\le n)$,则称为三对角矩阵。

三对角矩阵$A$也可以采用压缩存储，将3条对角线上的元素按行优先方式存放在一维数组$B$中，且$a_{1,1}$存放于$B[0]$中，可将其压缩存储在$B[3n-2]$中。

• $a_{i,j}\to B[k]$：即矩阵下标转换为压缩数组下标。

前$i-1$行：$3(i-1)-1$个元素且$a_{i,j}$是第$i$行的第$j-i+2$个元素
故$a_{i,j}$是第$3(i-1)-1+(j-i+2)=2i+j-2$个元素，所以元素$a_{i,j}(1\le i,j\le n,|i-j|\le 1)$在一维数组$B$中存放的下标为$k=2i+j-3$（下标从0开始，故要-1）。

• $B[k]\to a_{i,j}$：即压缩数组下标转换为矩阵下标。

根据三对角矩阵的定义：$|i-j|\le 1$，可知 $i-1\le j\le i+1$，根据$a_{i,j}\to B[k]$，可知$k=2i+j-3$，故有 $i-1\le k+3-2i\le i+1$，有$3(i-1)\le k+1\le 3i-1$，有$i\le \frac{k+1}{3}+1$或$i\ge \frac{k+2}{3}$，故可以推出$i=\lfloor \frac{k+1}{3}+1\rfloor$或$i=\lceil \frac{k+2}{3}\rceil$，最后通过$j=k+3-2i$，带入$i$反算出$j$来。

稀疏矩阵

矩阵中非零元素的个数$t$,相对矩阵元素的个数$s$来说非常少，即$s\gg t$的矩阵称为稀疏矩阵（结点数≫边数）。例如，一个矩阵的阶为$100\times 100$,该矩阵中只有少于$100$个非零元素。

三元组法

将非零元素及其相应的行和列构成一个三元组(行标 $i$,列标$j$,值$a_{i,j}$)。然后按照某种规律存储这些三元组线性表。稀疏矩阵压缩存储后便失去了随机存取特性。

定义三元组结点

typedef struct {
	int data;			// 数据域
	int i, j;			// 行列坐标域
} Node;

定义三元组

typedef struct {
	Node s[Maxsize];		// 三元组数组
	int size;				// 当前三元组元素个数
} Triplet;

十字链表法

为了解决三元组法中，压缩存储失去其随机存取特性，我们采用十字链表法，

十字链表法主要由以下几部分组成：

1. 矩阵结点（Node）： 每个节点包含以下字段：

   • 行索引（rowIndex）： 元素所在的行。
   • 列索引（colIndex）： 元素所在的列。
   • 值（value）： 元素的值。
   • 行链表指针（right）： 指向当前元素所在行的下一个非零元素。
   • 列链表指针（down）： 指向当前元素所在列的下一个非零元素。

2. 行头节点（Row Header Nodes）： 每一行的头节点，指向该行的第一个非零元素。

3. 列头节点（Column Header Nodes）： 每一列的头节点，指向该列的第一个非零元素。

矩阵结点结构

typedef struct Node {
    int row, col;
    int value;
    struct Node *right, *down;
} Node;

十字链表结构

typedef struct {
    int rows, cols;			// 行列坐标
    Node **row_heads;		// 行头指针
    Node **col_heads;		// 列头指针
} CrossLinkedList;