A.Good Permutation 2（贪心）

题意：

给你一个正整数$N$和一个由$M$个正整数$A=(A_1,A_2,\dots ,A_M)$组成的序列。

在这里，$A$的所有元素都是介于$1$和$N$之间的不同整数。

对于所有整数$i$（$1\le i\le M$）满足以下条件时，$(1,2,\dots ,N)$的排列$P=(P_1,P_2,\dots ,P_N)$称为好排列：

• $P$的任何连续子序列都不是$(1,2,\dots ,A_i)$的置换。

判断是否存在好的排列，如果存在，求字典序最小的好的排列。

分析：

本题考虑贪心思维。

将答案数组赋初值为$1,2,...,n$，将约束条件$a_i$从小到大排序。

对于每一个$x\in a$，因为每一个排列必须包含$1$，所以就让$re{s}_1,re{s}_2...,re{s}_x$不是一个排列。

每次交换$re{s}_x$和$re{s}_{x+1}$可以保证符合要求，且字典序最小。

考虑无解的情况。

• 如果$a=n$，则对于整个答案排列，一定是一个不符合这一要求的。
• 如果$a=1$，则对于答案中子序列{1}，同样无法满足。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000005;
int a[N], b[N];

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        cin >> a[i];
    sort(a + 1, a + 1 + m);
    if (a[m] == n || a[1] == 1) {
        cout << "-1" << endl;
        return 0;
    }
    set<int> st;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        st.insert(i);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        b[a[i]] = a[i] + 1;
        st.erase(a[i] + 1);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (b[i] == 0) {
            b[i] = *st.begin();
            st.erase(st.begin());
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cout << b[i] << " ";
    cout << endl;
    return 0;
}

B.1 + 6 = 7（数学）

题意：

给你正整数$A_1,A_2,A_3$。求满足以下所有条件的正整数$(X_1,X_2,X_3)$元组的个数，答案对$998244353$取模。

• $X_1$是一个十进制符号为$A_1$位的正整数。
• $X_2$是一个十进制符号为$A_2$位的正整数。
• $X_3$是一个十进制符号为$A_3$位的正整数。
• $X_1+X_2=X_3$。

每个输入给出$T$个测试样例，请逐一求解。

分析：

令$f(B_1,B_2,B_3)$表示下面证明的答案。

考虑有多少对整数$(Y_1,Y_2)$满足以下所有条件？

• $10^{B_1}\le Y_1$
• $10^{B_2}\le Y_2$
• $Y_1+Y_2<10^{B_3}$

我们要找出满足以下所有条件的整数对$(X_1,X_2)$的个数：

• $10^{A_1-1}\le X_1$
• $10^{A_2-1}\le X_2$
• $X_1+X_2<10^{A_3}$
• $10^{A_1}\le X_1$不成立。
• $10^{A_2}\le X_2$不成立。
• $X_1+X_2<10^{A_3-1}$不成立。

利用包含-排除原则，这个问题的答案可以用$f$表示如下：
$$\sum _{i=0}^1\sum _{j=0}^1\sum _{k=0}^{1}f(A_1-i,A_2-j,A_3-k)(-1{)}^{i+j+k}$$

因此，只需实现一个能快速计算$f(B_1,B_2,B_3)$的函数即可。对于$f(B_1,B_2,B_3)$，以下条件成立：

• 若$B_3\le \max (B_1,B_2)$，则$f(B_1,B_2,B_3)=0$。
• 若$B_3>\max (B_1,B_2)$，则$f(B_1,B_2,B_3)=\frac{(10^{B_3}-10^{B_1}-10^{B_2})(10^{B_3}-10^{B_1}-10^{B_2}+1)}{2}$。

由上可知，$f(B_1,B_2,B_3)$可在$O(\log (B_3))$时间内计算，因此每个测试样例可在 $O(\log (A_3))$时间内解决此问题。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#include<atcoder/modint>
using mint = atcoder::modint998244353;
mint ten = 10;

mint f(int b1, int b2, int b3){
    if (max(b1, b2) >= b3) return 0;
    mint tmp = ten.pow(b3) - ten.pow(b1) - ten.pow(b2);
    return tmp * (tmp + 1) / 2;
}

int main(){
    int T;
    cin >> T;
    while(T--){
        int a1, a2, a3;
        cin >> a1 >> a2 >> a3;
        mint ans = 0, pm = 1;
        for (int i = 0; i < 2; i++){
            for (int j = 0; j < 2; j++){
                for (int k = 0; k < 2; k++){
                    ans += pm * f(a1 - i, a2 - j, a3 - k);
                    pm *= -1;
                }
                pm *= -1;
            }
            pm *= -1;
        }
        cout << ans.val() << endl;
    }
}

C.Sum of Abs 2（数学、动态规划）

题意：

问题陈述

给你正整数$N$和$L$以及长度为$N$的正整数序列 $A=(A_1,A_2,\dots ,A_N)$。

就每个$i=1,2,\dots ,N$回答下面的问题：

判断是否存在一个由$L$个非负整数$B=(B_1,B_2,\dots ,B_L)$组成的序列，使得$\sum _{j=1}^{L-1}\sum _{k=j+1}^L|B_j-B_k|=A_i$。如果存在，求该序列$\max (B)$的最小值$B$。

分析：

本题"绝对值之和"指的是以下公式：

$$\sum _{j=1}^{L-1}\sum _{k=j+1}^L|B_j-B_k|$$

当存在$B$时，能够最小化$\max (B)$的$B$满足以下两个条件：

• $B$按升序排序。
• $B_1=0$.

第一个条件成立的原因是，绝对值之和与$B$的顺序无关。第二个条件成立是因为如果$B$中的所有元素都是正数，那么从所有元素中减去$1$就可以减少$\max (B)$而不改变绝对值之和。

当$B$按升序排序时，绝对值之和可以表示如下：

$$\sum _{j=1}^{L-1}\sum _{k=j+1}^L|B_j-B_k|=\sum _{j=1}^{L-1}\sum _{k=j+1}^L(B_k-B_j)=\sum _{k=1}^{L-1}k(L-k)(B_{k+1}-B_k)$$

这个变换是正确的，因为满足$1\le b<a\le L$ 的整数$a,b$为$B_a-B_b=(B_a-B_{a-1})+(B_{a-1}+B_{a-2})+\cdots +(B_{b+1}-B_b)$，满足$b\le k$和$k+1\le a$的整数对$(a,b)$的个数为$k(L-k)$。

如果我们让$C_k=B_{k+1}-B_k$，那么当$B$按升序排序和$B_1=0$时，下面的情况成立：

• $0\le C_k$.
• 绝对值之和等于$\sum _{k=1}^{L-1}k(L-k)C_k$。
• $\max (B)=B_L=\sum _{k=1}^{L-1}{C}_k$.

因此，我们需要解决下面的问题：

确定是否存在长度为$L-1$的非负整数序列$C$，使得$\sum _{k=1}^{L-1}k(L-k)C_k=A_i$，如果存在，求这样的$C$的最小和。

这个问题可以用动态规划的思想来解决，方法与背包问题相同，可以同时计算所有$i$的和。

由于$C_k=0$对于满足$\max (A)<k(L-k)$ 的$k$总是成立的，解法的空间复杂度为$O(\max (A))$，时间复杂度为$O(N+\max (A)\sqrt{\max (A)})$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
    int N, L;
    cin >> N >> L;
    const int S = 200200;
    vector<int> dp(S, S);
    dp[0] = 0;
    for (int k = 1; k < L; k++) {
        int w = k * (L - k);
        if (S < w)
            break;
        for (int i = 0; i + w < S; i++) {
            dp[i + w] = min(dp[i + w], dp[i] + 1);
        }
    }
    while (N--) {
        int a;
        cin >> a;
        cout << (dp[a] == S ? -1 : dp[a]) << endl;
    }
    return 0;
}

D.Delete Range Mex（动态规划）

题意：

给你一个正整数$N$和一个由$M$非负整数$A=(A_1,A_2,\dots ,A_M)$组成的序列。

在这里，$A$的所有元素都是介于$0$和$N-1$之间的不同整数。

求满足以下条件的$(0,1,\dots ,N-1)$的排列$P$对$998244353$取模的个数。

• 将序列$B=(B_1,B_2,\dots ,B_N)$初始化为$P$后，重复下面的操作若干次，可以得到$B=A$：
  • 选择$l$和$r$，使得$1\le l\le r\le |B|$，如果$B$中包含 m e x ( { B l , B l + 1 , … , B r } ) \mathrm{mex}(\{B_{l},B_{l+1},\dots,B_{r}\}) mex({Bl​,Bl+1​,…,Br​})，则将其从$B$中删除。

$\mathrm{mex}(X)$：对于非负整数的有限集合$X$来说，$\mathrm{mex}(X)$的定义是不在$X$中的最小非负整数。

分析：

首先，让我们考虑是否有可能将$B=P$转换为$B=A$。由于$B$中没有重复的元素，一旦从$B$中删除了一个整数$x$，之后就不可能再删除任何大于或等于$x$的数字了。因此，我们需要按降序移除$A$中不包含的元素。

此外，从$B$中移除$x$时，我们应该选择不包含$x$且其$\mathrm{mex}$为$x$的最大区间。由于$B$中没有重复的元素，因此最多有两个候选区间，我们应该选择包含所有小于$x$的元素的区间。

最后，我们需要计算满足以下所有条件的$P$的个数：

• $A$作为$P$的子序列存在。
• 对于所有不包含在$A$中且介于$0$和$N-1$之间的整数$x$，以下条件之一成立：
  • 从$0$到$x-1$的所有整数的索引都小于$x$的索引。
  • 从$0$到$x-1$的所有整数的索引都大于$x$的索引。

我们考虑按升序插入不包含在$A$中的整数来满足条件。

第一个条件总是满足的。

对于第二个条件，当插入一个整数$x$时，我们应将其插入最左边小于$x$的整数的左边，或插入最右边小于$x$的整数的右边。

在此基础上，我们考虑动态规划。

设$dp[i][l][r]$是插入$i$以内整数的方法数，使得最左边整数的左边最多有$l$个整数$i$，最右边整数的右边最多有$r$个整数$i$。

问题的答案是$dp[N-1][0][0]$。

如果$0$包含在$A$中，则使用$k$初始化$dp[0][k-1][M-k]=1$，从而得到$A_k=0$。

如果$0$不包含在$A$中，则初始化$dp[0][i][M-i]=1$为$i=0,1,\dots ,M$。

依次计算$i=1,2,\dots ,N-1$的$dp[i]$。

当$i$包含在$A$中时

使用$k$这样的$A_k=i$，对所有$l,r$进行如下更新：

$$dp[i][\min (l,k-1)][\min (r,M-k)]+=dp[i-1][l][r]$$

更新只需$O(M^2)$时间。

当$i$不包括在$A$中时

以下条件成立：

$$dp[i][l][r]=\sum _{L=l}^{M}dp[i-1][L][r]+\sum _{R=r}^{M}dp[i-1][l][R]$$

如果用简单的方法计算，时间复杂度为$O(M^3)$，但使用累积和方法，计算时间为$O(M^2)$。

因此，我们的解决方案的总体时间复杂度为$O(N{M}^2)$。
使用二项式系数直接计算$dp[min(A)]$可以减少需要考虑的表的范围，从而使计算速度提高一个常数量级。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#include<atcoder/modint>
using namespace std;

using mint = atcoder::modint;

int main() {
    int N, M;
    cin >> N >> M;
    vector<int> B(N, -1);
    for (int i = 0; i < M; i++) {
        int a;
        cin >> a;
        B[a] = i;
    }
    vector<mint> fact(N + 1, 1), fact_inv(N + 1, 1);
    for (int i = 1; i <= N; i++) fact[i] = fact[i - 1] * i;
    fact_inv[N] = fact[N].inv();
    for (int i = N; i > 0; i--) fact_inv[i - 1] = fact_inv[i] * i;
    auto Binom = [&](int a, int b) -> mint {
        if (N < a || a < b || b < 0) return 0;
        return fact[a] * fact_inv[b] * fact_inv[a - b];
    };
    int X = 0;
    while (B[X] == -1) X++;
    int L = B[X], R = M - 1 - B[X];
    vector dp(L + 1, vector<mint>(R + 1));
    for (int i = 0; i <= L; i++)
        for (int j = 0; j <= R; j++) {
            int Y = X;
            if (i != L) Y--;
            if (j != R) Y--;
            int Z = L - i + R - j + 1;
            dp[i][j] = Binom(Y + Z, Z);
        }
    for (int idx = X + 1; idx < N; idx++) {
        int c = B[idx];
        if (c == -1) {
            vector n_dp(L + 1, vector<mint>(R + 1));
            for (int i = 0; i <= L; i++) {
                mint tmp = 0;
                for (int j = R; j >= 0; j--) {
                    tmp += dp[i][j];
                    n_dp[i][j] = tmp;
                }
            }
            for (int i = L; i >= 0; i--) {
                for (int j = 0; j <= R; j++) {
                    if (i) dp[i - 1][j] += dp[i][j];
                    n_dp[i][j] += dp[i][j];
                }
            }
            swap(n_dp, dp);
        } else if (c < L) {
            for (int i = c + 1; i <= L; i++) {
                for (int j = 0; j <= R; j++) {
                    dp[c][j] += dp[i][j];
                }
            }
            L = c;
        } else if (M - 1 - c < R) {
            c = M - 1 - c;
            for (int i = 0; i <= L; i++) {
                for (int j = c + 1; j <= R; j++) {
                    dp[i][c] += dp[i][j];
                }
            }
            R = c;
        }
    }
    cout << (dp[0][0] * (mint(2)).pow(max(X - 1, 0))).val() << endl;
    return 0;
}

赛后交流

在比赛结束后，会在交流群中给出比赛题解，同学们可以在赛后查看题解进行补题。

群号： 704572101，赛后大家可以一起交流做题思路，分享做题技巧，欢迎大家的加入。