1. 推导

$r$为旋转轴，$\theta$为旋转角度。
先将旋转轴单位化
$$u=\frac{r}{||r||}$$
旋转可以被分为垂直和旋转两个方向，
我们求沿轴方向的分量其实就是在求 $p$向量在$u$方向上的投影。

引用投影矩阵
$$\begin{gathered} P=A(A^{\top }A{)}^{-1}{A}^{\top } \\ {P}_u=u(u^{\top }u{)}^{-1}{u}^{\top } \\ {u}^{\top }u=I \\ {P}_u=u{u}^{\top } \end{gathered}$$
其实也可以直接以向量的方式思考
$$u^{\top }p=u\ast p=||u||||p||\cos \alpha$$
还需要除$||u||$
$$\begin{gathered} ||u||=u^{\top }u \\ \frac{u^{\top }p}{u^{\top }u} \end{gathered}$$
最后将值转换为向量
$$u\frac{u^{\top }p}{u^{\top }u}=u{u}^{\top }p$$
令$a$为$p$在旋转轴$r$上的分量
$$a=p_{\parallel }=u{u}^{\top }p$$
令$b$为$p$垂直旋转轴$r$的分量
$$b=p_{\perp }=p-a=p-u{u}^{\top }p$$
令$c=u\times p$,则$||c||=||p||$

$b$旋转$\theta$后得到$b^{\prime }$

$$\begin{gathered} b^{\prime }=b\cos \theta +c\sin \theta \\ {b}^{\prime }=(p-u{u}^{\top }p)\cos \theta +u\times p\sin \theta \end{gathered}$$

旋转后的$p^{\prime }$
$$p^{\prime }=a+b^{\prime }=u{u}^{\top }p+(p-u{u}^{\top }p)\cos \theta +u\times p\sin \theta$$
合并后得到
$$p^{\prime }=(I\cos \theta +(1-\cos \theta )u{u}^{\top }+u_{\times }\sin \theta )p$$
其中$u_{\times }$为叉乘矩阵
形式为
$$\left[\begin{array}{ccc}0& z& -y\\ -z& 0& x\\ y& -x& 0\end{array}\right]$$
所以旋转矩阵为
$$R=I\cos \theta +(1-\cos \theta )u{u}^{\top }+u_{\times }\sin \theta$$

2. 性质

$$\begin{array}{r}trace(R)=2\cos \theta +1\\ R-R^{\top }=2u_{\times }\sin \theta \end{array}$$
性质一的证明，所有旋转矩阵都相似，构成一个正交群。
相似矩阵有性质
$$A=C^{-1}BC$$
所以所有旋转矩阵有相同的迹。
取其中一个旋转矩阵
$$\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
所以
$$tr(R)=2\cos \theta +1$$

3. 参考

michigan_state_university
duke
math_stackchange