Lp-CVT and Applications 论文笔记

本文是论文 L_p Centroidal Voronoi Tessellation and its Applications 的学习笔记。有不足之处，请指出！非常感谢！

1 主要工作

1. 解决问题：推广CVT以适用各向异性和六面体网格划分。
2. 推广 CVT ，提出 L_p-CVT，即最小化 Voronoi cell 上的坐标高阶矩，即提出新的目标函数 $F_{L_p}$。
3. 可以使Voronoi cell的轴和预定义背景张量场（各向异性）对齐。
4. 使用 准牛顿（quasi-Newton）优化框架，基于目标函数及其梯度的闭式推导计算。
5. 可用于曲面网格划分（各面各向异性三角网格）和体网格划分（3D各向异性场的封闭三角网格内部）。
6. 应用：四边形占优曲面网格重划分、六面体占优体网格划分。

2 结构

1. 介绍L_p-CVT定义、目标函数、导数。
2. 将受限L₂-CVT应用到曲面网格重划分。
3. 将受限L_p-CVT应用到四边形占优曲面网格重划分，3D L_p-CVT应用到六面体占优体网格划分。

3 定义

1. L_p-CVT：目标函数$F_{L_p}$的最小值。
2. 目标函数，即CVT能量，注入各向异性项（M_y）和L_P范数，定义如下：

3. 上述式子的 $\Omega$ 要么是曲面 S，要么是封闭曲面 S的内部。在最小化$F_{L_p}$的算法中，S被定义为分段线性复合体（PLC）。

4 计算$F_{L_p}$

1. 给出域 $\Omega$，和一组点 $X$。使用BFGS（一种准牛顿算法）最小化$F_{L_p}$，每次迭代需要计算 $F_{L_p}$及其梯度。每次迭代的操作：
   • 将 $\Omega$ 分解为一组单纯形胞体，由一组整数表示。
   • 根据组合结构表示，计算 $F_{L_p}$及其梯度（闭式形式？）。

4.1 $F_{L_p}(X)$组合结构

1. PLC(Piecewise Linear Complex)是一组多边形面（可能非凸），由顶点 p_j 和$N_{f}x+b_f=0$决定的平面（N_f，b_f）表示。
2. 曲面网格划分（重新划分一个PLC）,体网格划分（划分一个封闭PLC的内部）。
3. 将$\Omega$ 分解为单纯形胞体，称为 integration simplices，这样 $F_{L_p}(X)$可以表示为 $x_i,p_j,(N_f,b_f)$的函数。

曲面网格划分

1. RVD（restricted Voronoi diagram）决定 $F_{L_p}(X)$的组合结构。
   • RVD：3D Voronoi 单元和曲面S的交集。
   • RVD可以由一种提取算法（an exact algorithm[Yan et al.2009]）计算得到。
2. 将每个RVD单元分解为一组三角形面片，对于三角形面片的顶点 $C_i$ 有三种类型：
   • A(蓝色)：曲面S的一个顶点 $p_j$ 。
   • B(绿色)：两个RVD单元中心点连线的平分线$[x_0,x_i]$和S两个面$(N_f,b_f),(N_g,b_g)$的共线的交点。
   • C(红色)：两条平分线$[x_0,x_i],[x_0,x_j]$和S的一个面$(N_f,b_f)$的交点。

体网格划分

1. CVD（clipped Voronoi diagram）决定 $F_{L_p}(X)$的组合结构。

   • CVD：3D Voronoi 单元和封闭曲面S的内部的交集。
   • CVD可以由RVD计算得到，然后计算 “walls”，即3D Voronoi 单元的裁剪面，如图B。
     

2. 将每个CVD单元分解为一组四面体，每个四面体由 $x_0,C_1,C_2,C_3$表示。多一种顶点 $C_i$ 的类型：

   • D(黄色)：三条平分线$[x_0,x_i],[x_0,x_j],[x_0,x_k]$的交点，即三个CVD cell的交点。
     

最后

组合结构：每个集成单形 $x_0,C_1,C_2,C_3$ 由10个整数表示。

• $x_0$ 的下标
• 每个顶点 $C_i$ 的类型由三个整数编码
• 正数 $k$ 表示平分线$[x_0,x_k]$，负数 $k$ 表示边界平面 $(N_{-k},b_{-k})$。

4.2 $F_{L_p}(X)$的代数结构

1. $F_{L_p}(X)$及其梯度由组合结构：整数数组、顶点数组（$x_i$）、边界平面数组$(N_f,b_f)$算出。计算每个集成单形$T$的$F_{L_p}^T(X)$及其梯度的总和得到Lp-CVT能量和梯度。
2. $F_{L_p}(X)$的表达式：
   
3. $\nabla F_{L_p}(X)$的表达式：