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题目描述

在《买卖股票的最佳时机 II》这个问题中，你拥有一个数组，其中第 i 个元素是第 i 天给定股票的价格。你可以尽可能进行多次的买卖交易（即买一次和卖一次构成一对交易）。然而，你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买之前出售掉之前的股票）。

任务是设计一个算法来找出最大利润。你需要考虑在哪些日子买入和卖出能够获得最大利润。

示例

给定价格数组 [7,1,5,3,6,4]，最大利润计算方式如下：

1. 在价格为1时买入，在价格为5时卖出，利润为4。
2. 在价格为3时买入，在价格为6时卖出，利润为3。

因此，总利润为4 + 3 = 7。

注意，你不能在买入股票的同一天卖出，也不能在买入之前卖出股票。你的目标是最大化总利润。

方法一：贪心算法

解题步骤

1. 初始化总利润为0。
2. 遍历价格数组，从第一天到最后一天。
3. 对于每一天，如果当天的价格比前一天高，计算这两天的利润并累加到总利润中。
4. 最后返回总利润。

Python 示例

def maxProfit(prices):
    total_profit = 0
    for i in range(1, len(prices)):
        if prices[i] > prices[i - 1]:
            total_profit += prices[i] - prices[i - 1]
    return total_profit

算法分析

时间复杂度：O(n)，其中 n 是价格数组的长度，因为我们需要遍历整个数组。
空间复杂度：O(1)，只需要常数的空间来存储利润等变量。

算法图解

价格数组: [7, 1, 5, 3, 6, 4]
利润计算:
- 买入 1，卖出 5，利润 4
- 买入 3，卖出 6，利润 3
总利润: 4 + 3 = 7

方法二：动态规划

解题步骤

1. 创建两个列表，cash 和 hold，其中 cash[i] 表示第 i 天结束时手上没有股票的最大利润，hold[i] 表示第 i 天结束时手上持有股票的最大利润。
2. 初始化 cash[0] = 0 和 hold[0] = -prices[0]。
3. 遍历从第 1 天到最后一天，更新 cash 和 hold 的值：
   • cash[i] = max(cash[i-1], hold[i-1] + prices[i])
   • hold[i] = max(hold[i-1], cash[i-1] - prices[i])
4. 最后，cash[-1] 将是最大利润。

Python 示例

def maxProfit(prices):
    if not prices:
        return 0
    n = len(prices)
    cash, hold = [0] * n, [0] * n
    hold[0] = -prices[0]
    for i in range(1, n):
        cash[i] = max(cash[i-1], hold[i-1] + prices[i])
        hold[i] = max(hold[i-1], cash[i-1] - prices[i])
    return cash[-1]

算法分析

时间复杂度：O(n)，我们只需要遍历一次股价数组。
空间复杂度：O(n)，我们需要额外的空间来存储过程中的状态。

算法图解

价格数组: [7, 1, 5, 3, 6, 4]
cash: [0, 0, 4, 4, 7, 7]
hold: [-7, -1, -1, -1, -1, -1]
最终最大利润: 7

应用示例

如果给定一个价格数组 [7, 1, 5, 3, 6, 4]，使用上述任一方法，你都能得到最大利润7。这表明无论是采用贪心策略还是动态规划方法，都可以有效地解决问题。

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