前言

今天在做一道宝石组合的题目时了解到了这个定理，还是蛮有意思的。

思想

唯一分解定理：
对于任何正整数n，有
$$n=p_1^{a1}\times p_2^{a2}\times ...\times p_k^{ak}$$
其中，pi为质因子

基于这个定理，我们推广出关于最小公倍数(LCM)和最大公约数(GCD)的两个公式：
设两个正整数：n,m
$$lcm(n,m)=p_1^{max(a1,b1)}\times p_2^{max(a2,b2)}\times ...\times p_k^{max(ak,bk)}$$

$$gcd(n,m)=p_1^{min(a1,b1)}\times p_2^{min(a2,b2)}\times ...\times p_k^{min(ak,bk)}$$

同理可以推出：
$$n\times m=lcm(n,m)\times gcd(n,m)$$

宝石组合

题目

在一个神秘的森林里，住着一个小精灵名叫小蓝。有一天，他偶然发现了一个隐藏在树洞里的宝藏，里面装满了闪烁着美丽光芒的宝石。这些宝石都有着不同的颜色和形状，但最引人注目的是它们各自独特的 “闪亮度” 属性。每颗宝石都有一个与生俱来的特殊能力，可以发出不同强度的闪光。小蓝共找到了N 枚宝石，第 i 枚宝石的 “闪亮度” 属性值为 Hi，小蓝将会从这 N 枚宝石中选出三枚进行组合，组合之后的精美程度 S 可以用以下公式来衡量：

其中 LCM 表示的是最小公倍数函数。小蓝想要使得三枚宝石组合后的精美程度 S 尽可能的高，请你帮他找出精美程度最高的方案。如果存在多个方案 S 值相同，优先选择按照 H 值升序排列后字典序最小的方案。

题目分析

基于上面的分析，对给出的公式尝试化简：
$$S=\prod _{i=1}^k{p}_i^{a_i+b_i+c_i}\times \frac{p_i^{max(a_i,b_i,c_i)}}{p_i^{max(a_i,b_i)}\times p_i^{max(a_i,c_i)}\times p_i^{max(b_i,c_i)}}$$

对上述式子进一步化简，可得：
$$S=\prod _{i=1}^k{p}_i^{a_i+b_i+c_i}\times \frac{p_i^{max(最大)}}{p_i^{max(最大)}\times p_i^{max(最大)}\times p_i^{max(次大)}}$$
最后得到：
$$S=\prod _{i=1}^k{p}_i^{最小}=\prod _{i=1}^k{p}_i^{min(a_i,b_i,c_i)}=gcd(a,b,c)$$

所以经过化简公式，我们可以得出结论：就是找最大公约数最大的三个数

解答

经过上面的分析，我们有以下的思路：

• 1、定义一个fac二维数组，fac[i]是一个数组，表示i的所有约数
• 2、遍历所有a数组，s[a[i]]表示 a[i] 是哪些数的约数。

例如 10 的所有约数为 1 、 2、 5、 10
则
s[1] = { 10 }
s[2] = { 10 }
s[5] = { 10 }
s[10] = { 10 }

当我们遍历完a数组，倒着遍历s数组，第一次找到超过三个数的s[i]，去前三项即是答案。

参考代码

#include<iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100005;
vector<int> fac[N],s[N];
int a[N];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 0;i<n;i++){
        cin >> a[i];
    }
    
    for(int i = 1; i<100005 ;i++){
        for(int j = i;j<100005;j+=i){
            fac[j].push_back(i);
        }
    }
    
    sort(a,a+n);
    for(int i = 0;i<n;i++){
        for(auto e : fac[a[i]]){
            s[e].push_back(a[i]);
        }
    }
    
    for(int i =100004;i>=0;i--){
        if(s[i].size() >= 3){
            cout << s[i][0] << " " << s[i][1] << " " << s[i][2] << endl;
            break;
        }
    }
    return 0;
}