在上一个Part部分，我们介绍了Bash game、Nim game、Misere Nim game 这三个游戏的玩法、必胜策略，以及必胜策略的证明，并介绍了有关必胜态以及必败态的两条定理，接下来我们会以Part1为基础，深挖其中的理论。

1、Grundy Numbers/Numbers and Mex的引入

$GrundyNumbers$ 是一种在组合游戏理论中用来分析游戏局势的数学概念。

它主要用于判断在一些特定游戏中，当前局面对先手玩家是有利的还是不利的。

具体地说，给定一个游戏状态或局面，$Grundy$数能表示这个局面的胜负情况。

定义如下：

1、如果一个局面是终止局面，其$Grundy$数为$0$。

2、对于非终止局面，其$Grundy$数定义为所有可能的下一步局面的$Grundy$​数中最小未出现的非负整数。

设当前状态为$S$，其进行一次合法操作后的可能状态集合为： { S 1 , S 2 , . . . S k } \lbrace S_1,S_2,...S_k\rbrace {S1​,S2​,...Sk​}

则有: G r u n d y ( S ) = M e x ( { G r u n d y ( S 1 ) , G r u n d y ( S 2 ) , . . . , G r u n d y ( S k ) } ) Grundy(S)=Mex(\lbrace Grundy(S_1),Grundy(S_2),...,Grundy(S_k)\rbrace) Grundy(S)=Mex({Grundy(S1​),Grundy(S2​),...,Grundy(Sk​)})

定义Mex

集合中未出现的最小非负整数。

定义运算Mex(set)

求出集合中未出现的最小非负整数。

列表观察：

Mex(set)	结果
Mex($\varnothing$)	0
Mex({1,2,3})	0
Mex({0,2,3,4})	1
Mex({0,1,2,3,4,…,$w$})	$w+1$

下面用几个简单的游戏来验证$Grundy$数：

Game1

题目：

有一堆数量为$n$的石子，两个人轮流操作，每次操作可以取走任意数量的石子（不能不取）。

取走最后一个石子的玩家获胜。

列表观察 $0\sim 10$​的Grundy Numbers：

$Grundy(0)=Mex(\varnothing )=0$

G r u n d y ( 1 ) = M e x ( { G r u n d y ( 0 ) } ) = 1 Grundy(1)=Mex(\lbrace Grundy(0)\rbrace)=1 Grundy(1)=Mex({Grundy(0)})=1

G r u n d y ( 2 ) = M e x ( { G r u n d y ( 0 ) , G r u n d y ( 1 ) } ) = 2 Grundy(2)=Mex(\lbrace Grundy(0),Grundy(1)\rbrace)=2 Grundy(2)=Mex({Grundy(0),Grundy(1)})=2

$...$

G r u n d y ( n ) = M e x ( { G r u n d y ( n − 1 ) , . . . , G r u n d y ( 0 ) } ) = n Grundy(n)=Mex(\lbrace Grundy(n-1),...,Grundy(0)\rbrace)=n Grundy(n)=Mex({Grundy(n−1),...,Grundy(0)})=n

N	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Grundy(N)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

观察到，只有$n=0$的时候Grundy Numbers = 0 , 所以$n=0$的时候先手必败。

否则先手必胜。

这显然和我们的结论是一样的。

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Game2

题目：

最初有一堆数量为$15$的石子，选手甲、乙交替操作，每次操作需要从石子堆中拿走不超过$3$个石子。

甲先手操作，取走最后一个石子的选手获胜。请问最终谁获胜？

只需要求解出每个状态的Grundy数即可。

$Grundy(0)=Mex(\varnothing )=0.$

G r u n d y ( 1 ) = M e x ( { G r u n d y ( 0 ) } ) = 1. Grundy(1) = Mex(\lbrace Grundy(0)\rbrace) = 1. Grundy(1)=Mex({Grundy(0)})=1.

G r u n d y ( 2 ) = M e x ( { G r u n d y ( 0 ) , G r u n d y ( 1 ) } ) = 2. Grundy(2)=Mex(\lbrace Grundy(0),Grundy(1)\rbrace)=2. Grundy(2)=Mex({Grundy(0),Grundy(1)})=2.

G r u n d y ( 3 ) = M e x ( { G r u n d y ( 2 ) , G r u n d y ( 1 ) , G r u n d y ( 0 ) } ) = 3 Grundy(3)=Mex(\lbrace Grundy(2),Grundy(1),Grundy(0)\rbrace) = 3 Grundy(3)=Mex({Grundy(2),Grundy(1),Grundy(0)})=3

G r u n d y ( 4 ) = M e x ( { G r u n d y ( 3 ) , G r u n d y ( 2 ) , G r u n d y ( 1 ) } ) = 0 Grundy(4)=Mex(\lbrace Grundy(3),Grundy(2),Grundy(1)\rbrace)=0 Grundy(4)=Mex({Grundy(3),Grundy(2),Grundy(1)})=0

$...$

G r u n d y ( 15 ) = M e x ( { G r u n d y ( 14 ) , G r u n d y ( 13 ) , G r u n d y ( 12 ) } ) = 3 Grundy(15)=Mex(\lbrace Grundy(14) ,Grundy(13),Grundy(12)\rbrace)=3 Grundy(15)=Mex({Grundy(14),Grundy(13),Grundy(12)})=3

在这个游戏中，如果把$15$换成$n$也是一样能够求解的，我们可以通过线性递推的方式求解出Grundy(n).

如果$Grundy(n)=0$​即代表这是一个必败态。

N	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Grundy(N)	0	1	2	3	0	1	2	3	0

这显然符合$Bashgame$的结论。

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Game3

题目：

最初有一堆数量为$10$的石子，选手甲、乙交替操作，每次操作可以将石子的数量除以2、3、6，并向下取整。

甲先手操作，最后一次操作的人获胜。请问最终谁获胜？

$Grundy(0)=0$.

G r u n d y ( 1 ) = M e x ( { G r u n d y ( [ 1 2 ] ) , G r u n d y ( [ 1 3 ] ) , G r u n d y ( [ 1 6 ] ) } ) = M e x ( { 0 , 0 , 0 } ) = 1 Grundy(1)=Mex(\lbrace Grundy([\frac{1}{2}]),Grundy([\frac{1}{3}]),Grundy([\frac{1}{6}])\rbrace) = Mex(\lbrace0,0,0\rbrace)=1 Grundy(1)=Mex({Grundy([21​]),Grundy([31​]),Grundy([61​])})=Mex({0,0,0})=1

G r u n d y ( 2 ) = M e x ( { G r u n d y ( [ 2 2 ] ) , G r u n d y ( [ 2 3 ] ) , G r u n d y ( [ 2 6 ) ] } ) = M e x ( { 1 , 0 , 0 } ) = 2 Grundy(2)=Mex(\lbrace Grundy([\frac{2}{2}]),Grundy([\frac{2}{3}]),Grundy([\frac{2}{6})]\rbrace) = Mex(\lbrace1,0,0\rbrace)=2 Grundy(2)=Mex({Grundy([22​]),Grundy([32​]),Grundy([62​)]})=Mex({1,0,0})=2

G r u n d y ( 3 ) = M e x ( { G r u n d y ( [ 3 2 ] ) , G r u n d y ( [ 3 3 ] ) , G r u n d y ( [ 3 6 ) ] } ) = M e x ( { 1 , 1 , 0 } ) = 2 Grundy(3)=Mex(\lbrace Grundy([\frac{3}{2}]),Grundy([\frac{3}{3}]),Grundy([\frac{3}{6})]\rbrace) = Mex(\lbrace1,1,0\rbrace)=2 Grundy(3)=Mex({Grundy([23​]),Grundy([33​]),Grundy([63​)]})=Mex({1,1,0})=2

G r u n d y ( 4 ) = M e x ( { G r u n d y ( [ 4 2 ] ) , G r u n d y ( [ 4 3 ] ) , G r u n d y ( [ 4 6 ) ] } ) = M e x ( { 2 , 1 , 0 } ) = 3 Grundy(4)=Mex(\lbrace Grundy([\frac{4}{2}]),Grundy([\frac{4}{3}]),Grundy([\frac{4}{6})]\rbrace) = Mex(\lbrace2,1,0\rbrace)=3 Grundy(4)=Mex({Grundy([24​]),Grundy([34​]),Grundy([64​)]})=Mex({2,1,0})=3

$...$

G r u n d y ( 6 ) = M e x ( { G r u n d y ( [ 6 2 ] ) , G r u n d y ( [ 6 3 ] ) , G r u n d y ( [ 6 6 ) ] } ) = M e x ( { 3 , 2 , 1 } ) = 0 Grundy(6)=Mex(\lbrace Grundy([\frac{6}{2}]),Grundy([\frac{6}{3}]),Grundy([\frac{6}{6})]\rbrace) = Mex(\lbrace3,2,1\rbrace)=0 Grundy(6)=Mex({Grundy([26​]),Grundy([36​]),Grundy([66​)]})=Mex({3,2,1})=0

$Grundy(n)=0(n\ge 6)$

列表有：

N	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Grundy(N)	0	1	2	2	3	3	0	0	0

2、Sprague-Grundy Theorem

Sprague-Grundy Theorem是什么

$S-G$定理 是一个解决类似于$Nim$的公平组合游戏的通法。

我们把单个$Nim$堆上的游戏对局叫作一个子对局。

而$S-G$定理的内容是：假设有$N$个子对局和两个棋手$A、B$组成的综合对局，

如果$A、B$都按照最优策略下棋，那么在对局开始之前就能判断输赢。

各个子对局的$Grundy$数异或和为$0$，先手必败。

各个子对局的$Grundy$数异或和不为$0$，先手必败。

应用S-G Theorem

1. 将综合对局分解为一个个子对局。
2. 对于每一个子对局计算其$Grundy$数。
3. 计算所有子对局的$Grundy$数的异或和。
4. 如果异或和为$0$，那么先手必败，否则先手必胜。

3、Practice

Game1

题目：

初始时有三堆石子，每一堆分别有$3、4$和$5$个石子。

甲乙交替操作，每次操作可以取一堆石子中的$1\sim 3$个。

取走最后一个石子的玩家获胜，请问最终谁会获胜？

$S-GTheorem:$

1. 这个游戏可以分解为3个子游戏，每一个子游戏分别有$3、4、5$​个石子。
2. 可以计算出每个子游戏的$Grundy$数 : $3、0、1$ 。
3. 计算出子游戏$Grundy$数的异或和$:$ 2。
4. 得出结论：先手必胜。

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Game2

题目：

给一个迷宫，迷宫内有空地和障碍物(蓝色格子)，棋子在右下角。

甲乙交替操作，每次操作只能将棋子向上或向左移动任意单位长度（不能不移动）。

最后移动的玩家获胜。

迷宫的初始状态如下图：

我们可以对每个位置，都求出其$GrundyNumber$，结果如下图：

如果初始位置的$Grundy$数是$0$，那么根据$S-G$定理：先手必输。

如果初始位置的$Grundy$数非$0$，根据$S-G$定理：先手必胜。

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Game2.1

题目：

假如给定三个迷宫，每次操作都能选择一个迷宫，并操纵里面的棋子向上或向下走任意距离。

棋子在右下角，最终无法进行操作的人输。

题中迷宫如图：

可以求出每个迷宫的$Grundy$数如下图：

注意到初始状态下，三个子状态的$GrundyNumber$ 异或和为$2⨁3⨁3=2$

所以先手必胜。

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Game3

题目：

最初有一个数量为$n$的石子堆，甲乙轮流进行操作。

每次操作可以选择场上任意一堆石子，并将这堆石子分为石子数量不相同的两堆石子(不能为$0$)。

不能进行操作的人输。

我们假设$n=8$，模拟这场游戏来观察规律：

1、$n=1$，显然这一堆石子无法继续分，$Grundy(1)=0$.

2、$n=2$，显然这堆石子无法分为数量不相同的两堆石子，$Grundy(2)=0$.

3、$n=3$，这堆石子可以分成$(1,2)$。 G r u n d y ( 3 ) = M e x ( { G r u n d y ( 2 ) ⨁ G r u n d y ( 1 ) } ) = 1 Grundy(3)=Mex(\lbrace Grundy(2)\bigoplus Grundy(1)\rbrace)=1 Grundy(3)=Mex({Grundy(2)⨁Grundy(1)})=1.​

这也代表着，$n=3$​的石子可以分裂出两个子游戏

这两个子游戏的胜负会影响父游戏的胜负，所以需要用到$S-GTheorem:$

一个游戏若是能分解为若干子游戏，那么这个游戏的结果取决于子游戏的$GrundyNumber$异或和

故 G r u n d y ( 3 ) = M e x ( { G r u n d y ( 2 ) ⨁ G r u n d y ( 1 ) } ) = 1 Grundy(3)=Mex(\lbrace Grundy(2)\bigoplus Grundy(1)\rbrace)=1 Grundy(3)=Mex({Grundy(2)⨁Grundy(1)})=1

4、$n=4$，这堆石子能分成$(1,3)$。 G r u n d y ( 4 ) = M e x ( { G r u n d y ( 1 ) ⨁ G r u n d y ( 3 ) } ) = 0 Grundy(4)=Mex(\lbrace Grundy(1)\bigoplus Grundy(3) \rbrace)=0 Grundy(4)=Mex({Grundy(1)⨁Grundy(3)})=0

5、$n=5$，这堆石子能分成$(1,4),(2,3)$。

G r u n d y ( 5 ) = M e x ( { G r u n d y ( 1 ) ⨁ G r u n d y ( 4 ) } , { G r u n d y ( 2 ) ⨁ G r u n d y ( 3 ) } ) = M e x ( { 1 , 0 } ) = 2 Grundy(5)=Mex(\lbrace Grundy(1)\bigoplus Grundy(4) \rbrace,\lbrace Grundy(2)\bigoplus Grundy(3) \rbrace)=Mex(\lbrace 1,0 \rbrace)=2 Grundy(5)=Mex({Grundy(1)⨁Grundy(4)},{Grundy(2)⨁Grundy(3)})=Mex({1,0})=2

$...$

以此类推下去即可。