练习1：计算：

解： 

解析：①左边的置换是1保持不变，2变成3，3变成4，4变成5，5变成2，因此可以简写为(2345)；右边的置换是2和5保持不变，1变成3，3变成4，4变成1，因此可以简写为(134)。

②两个置换按从左往右的顺序乘，便是：1先保持不变，然后变成3，因此相乘的结果是1变成3； 2先变成3，然后3再变成4，因此相乘的结果是2变成4；3先变成4，4再变成1，因此相乘的结果是3变成1；4先变成5，5再保持不变，因此相乘的结果是4变成5；5先变成2，2再保持不变，因此相乘后的结果是5变成2。

综上，按从左往右的顺序乘，结果是1变成3，2变成4，3变成1，4变成5，5变成2，注意到1和3是对换，即1和3之间的置换与2,4,5之间的置换是相互独立、互不影响的，所以可以记为(13)(245)（1和3先对换，然后2变4、4变5、5变2，或者先2变4、4变5、5变2，再将1,3对换）。

③两个置换按从右往左的顺序乘，便是：1先变成3，然后3再变成4，因此相乘的结果是1变成4； 2先保持不变，然后再变成3，因此相乘的结果是2变成3；3先变成4，4再变成5，因此相乘的结果是3变成5；4先变成1，1再保持不变，因此相乘的结果是4变成1；5先保持不变，然后再变成2，因此相乘后的结果是5变成2。

综上，按从右往左的顺序乘，结果是1变成4，2变成3，3变成5，4变成1，5变成2，注意到1和4是对换，即1和4之间的置换与2,3,5之间的置换是相互独立、互不影响的，所以可以记为(14)(235)（1和4先对换，然后2变3、3变5、5变2，或者先2变3、3变5、5变2，再将1,4对换）。

 

练习2：计算：

 解：

解析：①左边的置换是1变成3，2变成1，3变成6，4,5保持不变，6变成2，因此可以简写为(1362)；右边的置换是1,2,5,6保持不变，3变成4，4变成3，因此可以简写为(34)。

②两个置换按从左往右的顺序乘，便是：1先变成3，然后3变成4，因此相乘的结果是1变成4； 2先变成1，然后1再保持不变，因此相乘的结果是2变成1；3先变成6，6再保持不变，因此相乘的结果是3变成6；4先保持不变，再变成3，因此相乘的结果是4变成3；5在两个置换中都保持不变，因此相乘后的结果是5保持不变；6先变成2，2再保持不变，因此相乘后的结果是6变成2。

综上，按从左往右的顺序乘，结果是1变成4，2变成1，3变成6，4变成3，5保持不变，6变成2，可记为(14362)。

③两个置换按从右往左的顺序乘，便是：1先保持不变，然后变成3，因此相乘的结果是1变成3； 2先保持不变，然后再变成1，因此相乘的结果是2变成1；3先变成4，4再保持不变，因此相乘的结果是3变成4；4先变成3，3再变成6，因此相乘的结果是4变成6；5在两个置换中都保持不变，因此相乘后的结果是5保持不变；6先保持不变，再变成2，因此相乘后的结果是6变成2。

综上，按从右往左的顺序乘，结果是1变成3，2变成1，3变成4，4变成6，5保持不变，6变成2，可记为(13462)。

 

练习3：

(1)、令A={1,2,3}，写出A上的所有置换组成的集合S3；

(2)、S3的乘法适合交换律吗？

(3)、写出S2和S1。

(4)、猜想Sn中元素的个数。

解：

(1)可参考第13篇关于变换群引理的笔记，A上的所有置换包括：恒等变换(1)、1和2的对换(12)、2和3的对换(23)、1和3的对换(13)、1→2→3的置换(123)和1→3→2的置换(132)共6种，

所以S3 = {(1),(12),(13),(23),(123),(132)}。

(2)取(12),(13)∈S3，因为（按从右往左乘）(12)(13) = (132)，(13)(12) = (123)，所以(12)(13) ≠ (13)(12)，因此S3的乘法不适合交换律。

(3)S2表示集合{1,2}上的置换，包括恒等变换(1)、1和2的对换(12)，所以S2 = {(1),(12)}；

S1表示集合{1}上的置换，只有恒等置换(1)一种，因此S1 = {(1)}。

(4)由前3小问的分析可知，S1 = {(1)}只含有1 = 1!个元素，S2 = {(1),(12)}含有2 = 1×2 = 2!个元素，S3 = {(1),(12),(13),(23),(123),(132)}含有6 = 1×2×3 = 3!个元素，

因此可猜想Sn中含有n!个元素。

 

定理2：n次对称群Sn的阶是n!，即|Sn| = n!。【群的阶：群中含有元素的个数】

 

（待续……）