数据结构-二叉搜索树(BST)

什么是二叉搜索树

二叉搜索树的特性

(1)顺序性

(2)局限性

二叉搜索树的应用

二叉搜索树的操作

(1)查找节点

(2)插入节点

(3)删除节点

(4)中序遍历

什么是二叉搜索树

如图所示，二叉搜索树（binary search tree）满足以下条件。

对于根节点，左子树中所有节点的值 < 根节点的值 < 右子树中所有节点的值。
任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 1. 。

二叉搜索树

二分搜索树有着高效的插入、删除、查询操作。

平均时间的时间复杂度为 O(log n)，最差情况为 O(n)。二分搜索树与堆不同，不一定是完全二叉树，底层不容易直接用数组表示故采用链表来实现二分搜索树。只有在高频添加、低频查找删除数据的场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。

	查找元素	插入元素	删除元素
普通数组	O(n)	O(n)	O(n)
顺序数组	O(logn)	O(n)	O(n)
二分搜索树	O(logn)	O(logn)	O(logn)

二叉搜索树的特性

(1)顺序性

二分搜索树可以当做查找表的一种实现。

我们使用二分搜索树的目的是通过查找 key 马上得到 value。minimum、maximum、successor（后继）、predecessor（前驱）、floor（地板）、ceil（天花板、rank（排名第几的元素）、select（排名第n的元素是谁）这些都是二分搜索树顺序性的表现。

(2)局限性

二分搜索树在时间性能上是具有局限性的。

在理想情况下，二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在 log⁡𝑛 轮循环内查找任意节点。

然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为如图所示的链表，相应的，二叉搜索树的查找操作是和这棵树的高度相关的，而此时这颗树的高度就是这颗树的节点数 n，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 𝑂(𝑛) 。

二叉搜索树退化

二叉搜索树的应用

用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
作为某些搜索算法的底层数据结构。
用于存储数据流，以保持其有序状态

二叉搜索树的操作

(1)查找节点

给定目标节点值 num ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。如图 7-17 所示，我们声明一个节点 cur ，从二叉树的根节点 root 出发，循环比较节点值 cur.val 和 num 之间的大小关系。

若 cur.val < num ，说明目标节点在 cur 的右子树中，因此执行 cur = cur.right 。
若 cur.val > num ，说明目标节点在 cur 的左子树中，因此执行 cur = cur.left 。
若 cur.val = num ，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点。

bst_search_step4

二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 𝑂(log⁡𝑛) 时间。示例代码如下：

/* 查找节点 */
TreeNode *search(BinarySearchTree *bst, int num) {
    TreeNode *cur = bst->root;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != NULL) {
        if (cur->val < num) {
            // 目标节点在 cur 的右子树中
            cur = cur->right;
        } else if (cur->val > num) {
            // 目标节点在 cur 的左子树中
            cur = cur->left;
        } else {
            // 找到目标节点，跳出循环
            break;
        }
    }
    // 返回目标节点
    return cur;
}

通过查找节点的方法，我们可以完成98. 验证二叉搜索树 - 力扣（LeetCode）

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     struct TreeNode *left;
 *     struct TreeNode *right;
 * };
 */
bool isValidBSTHelper(struct TreeNode* root, long min_val, long max_val) {
    // 如果根节点为空，直接返回 true，因为空树也是 BST
    if (root == NULL) {
        return true;
    }

    // 检查当前节点值是否在范围内
    if (root->val <= min_val || root->val >= max_val) {
        return false;
    }

    // 递归检查左右子树，更新范围
    return isValidBSTHelper(root->left, min_val, root->val) && 
           isValidBSTHelper(root->right, root->val, max_val);
}

bool isValidBST(struct TreeNode* root) {
    // 使用 long 类型的最小值和最大值作为初始范围
    return isValidBSTHelper(root, LONG_MIN, LONG_MAX);
}

(2)插入节点

给定一个待插入元素 num ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作流程如图所示。

查找插入位置：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和 num 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至 None ）时跳出循环。
在该位置插入节点：初始化节点 num ，将该节点置于 None 的位置。

在二叉搜索树中插入节点

在代码实现中，需要注意以下两点。

二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义。因此，若待插入节点在树中已存在，则不执行插入，直接返回。
为了实现插入节点，我们需要借助节点 pre 保存上一轮循环的节点。这样在遍历至 None 时，我们可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。

代码范例如下，与查找节点相同，插入节点使用 𝑂(log⁡𝑛) 时间。

/* 插入节点 */
void insert(BinarySearchTree *bst, int num) {
    // 若树为空，则初始化根节点
    if (bst->root == NULL) {
        bst->root = newTreeNode(num);
        return;
    }
    TreeNode *cur = bst->root, *pre = NULL;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != NULL) {
        // 找到重复节点，直接返回
        if (cur->val == num) {
            return;
        }
        pre = cur;
        if (cur->val < num) {
            // 插入位置在 cur 的右子树中
            cur = cur->right;
        } else {
            // 插入位置在 cur 的左子树中
            cur = cur->left;
        }
    }
    // 插入节点
    TreeNode *node = newTreeNode(num);
    if (pre->val < num) {
        pre->right = node;
    } else {
        pre->left = node;
    }
}

通过插入节点的方法，我们可以完成701. 二叉搜索树中的插入操作 - 力扣（LeetCode）

struct TreeNode* createTreeNode(int val) {
    struct TreeNode* ret = malloc(sizeof(struct TreeNode));
    // 设置节点值
    ret->val = val;
    // 左右子节点为空
    ret->left = ret->right = NULL;
    // 返回新创建的节点
    return ret;
}

struct TreeNode* insertIntoBST(struct TreeNode* root, int val) {
    // 如果根节点为空，直接将新节点作为根节点返回
    if (root == NULL) {
        root = createTreeNode(val);
        return root;
    }
    // 定义游标节点为根节点
    struct TreeNode* pos = root;
    // 循环查找插入位置
    while (pos != NULL) {
        // 如果 val 小于当前节点值
        if (val < pos->val) {
            // 如果当前节点的左子节点为空，将新节点插入左子节点位置
            if (pos->left == NULL) {
                pos->left = createTreeNode(val);
                break;
            } else {
                // 否则继续向左子树查找插入位置
                pos = pos->left;
            }
        } else {
            // 如果 val 大于等于当前节点值
            // 如果当前节点的右子节点为空，将新节点插入右子节点位置
            if (pos->right == NULL) {
                pos->right = createTreeNode(val);
                break;
            } else {
                // 否则继续向右子树查找插入位置
                pos = pos->right;
            }
        }
    }
    // 返回根节点
    return root;
}

(3)删除节点

先在二叉树中查找到目标节点，再将其删除。与插入节点类似，我们需要保证在删除操作完成后，二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质仍然满足。因此，我们根据目标节点的子节点数量，分 0、1 和 2 三种情况，执行对应的删除节点操作。

如图所示，当待删除节点的度为 0 时，表示该节点是叶节点，可以直接删除。

在二叉搜索树中删除节点（度为 0 ）

如下图所示，当待删除节点的度为 1 时，将待删除节点替换为其子节点即可。

在二叉搜索树中删除节点（度为 1 ）

当待删除节点的度为 2 时，我们无法直接删除它，而需要使用一个节点替换该节点。由于要保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，因此这个节点可以是右子树的最小节点或左子树的最大节点。

假设我们选择右子树的最小节点（中序遍历的下一个节点），则删除操作流程如下图所示。

找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为 tmp 。
用 tmp 的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点 tmp 。

bst_remove_case3_step4

删除节点操作同样使用 𝑂(log⁡𝑛) 时间，其中查找待删除节点需要 𝑂(log⁡𝑛) 时间，获取中序遍历后继节点需要 𝑂(log⁡𝑛) 时间。示例代码如下：

/* 删除节点 */
// 由于引入了 stdio.h ，此处无法使用 remove 关键词
void removeItem(BinarySearchTree *bst, int num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (bst->root == NULL)
        return;
    TreeNode *cur = bst->root, *pre = NULL;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != NULL) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur->val == num)
            break;
        pre = cur;
        if (cur->val < num) {
            // 待删除节点在 root 的右子树中
            cur = cur->right;
        } else {
            // 待删除节点在 root 的左子树中
            cur = cur->left;
        }
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur == NULL)
        return;
    // 判断待删除节点是否存在子节点
    if (cur->left == NULL || cur->right == NULL) {
        /* 子节点数量 = 0 or 1 */
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = nullptr / 该子节点
        TreeNode *child = cur->left != NULL ? cur->left : cur->right;
        // 删除节点 cur
        if (pre->left == cur) {
            pre->left = child;
        } else {
            pre->right = child;
        }
        // 释放内存
        free(cur);
    } else {
        /* 子节点数量 = 2 */
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        TreeNode *tmp = cur->right;
        while (tmp->left != NULL) {
            tmp = tmp->left;
        }
        int tmpVal = tmp->val;
        // 递归删除节点 tmp
        removeItem(bst, tmp->val);
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur->val = tmpVal;
    }
}

除了迭代方法外，我们还可以使用递归方法来删除节点，下面的力扣题给出的方法就是递归方法。450. 删除二叉搜索树中的节点 - 力扣（LeetCode）

// 从二叉搜索树 root 中删除值为 key 的节点
struct TreeNode* deleteNode(struct TreeNode* root, int key) {
    // 如果根节点为空，直接返回 NULL
    if (root == NULL) {
        return NULL;
    }
    // 如果 key 小于当前节点值，递归删除左子树中的节点
    if (root->val > key) {
        root->left = deleteNode(root->left, key);
        return root;
    }
    // 如果 key 大于当前节点值，递归删除右子树中的节点
    if (root->val < key) {
        root->right = deleteNode(root->right, key);
        return root;
    }
    // 如果当前节点值等于 key
    if (root->val == key) {
        // 如果当前节点没有左右子节点，直接返回 NULL
        if (!root->left && !root->right) {
            return NULL;
        }
        // 如果只有右子节点，返回右子节点
        if (!root->right) {
            return root->left;
        }
        // 如果只有左子节点，返回左子节点
        if (!root->left) {
            return root->right;
        }
        // 如果既有左子节点又有右子节点
        // 找到右子树中最小的节点作为当前节点的替代节点
        struct TreeNode *successor = root->right;
        while (successor->left) {
            successor = successor->left;
        }
        // 递归删除右子树中的最小节点
        root->right = deleteNode(root->right, successor->val);
        // 将替代节点的右子树连接到当前节点的右子树
        successor->right = root->right;
        // 将替代节点的左子树连接到当前节点的左子树
        successor->left = root->left;
        // 返回替代节点作为当前节点的父节点的子节点
        return successor;
    }
    // 返回根节点
    return root;
}

(4)中序遍历

如图所示，二叉树的中序遍历遵循“左 → 根 → 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 < 根节点 < 右子节点”的大小关系。

这意味着在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：二叉搜索树的中序遍历序列是升序的。

利用中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 𝑂(𝑛) 时间，无须进行额外的排序操作，非常高效。

二叉搜索树的中序遍历序列

利用二叉搜索树中序遍历升序，我们可以完成 530. 二叉搜索树的最小绝对差

void traversal(struct TreeNode* cur, struct TreeNode** pre, int *result) {
    if (cur == NULL) return;
    //BST中序遍历是升序
    traversal(cur->left, pre, result);   // 左
    if (*pre != NULL){       // 中
        *result = fmin(*result, cur->val - (*pre)->val);
    }
    *pre = cur; // 记录前一个
    traversal(cur->right, pre, result);  // 右
}


int getMinimumDifference(struct TreeNode* root) {
    int result = 114514;
    struct TreeNode* pre = NULL; // 初始值为NULL
    traversal(root, &pre, &result); // 传递pre的指针的指针
    return result;
}